Question

7．如圖所示是一個貨物運輸裝置示意圖，BC是平臺，AB是長L=12m的傳送帶，BA兩端的高度差h=2.4m．傳送帶在電動機(jī)M的帶動下順時針勻速轉(zhuǎn)動，安全運行的最大速度為v_m=6m/s．假設(shè)斷電后，電動機(jī)和傳送帶都立即停止運動．現(xiàn)把一個質(zhì)量為20kg的貨物，輕輕放上傳送帶上的A點，然后被傳送帶運輸?shù)狡脚_BC上，貨物與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為0.4．由于傳送帶較為平坦，可把貨物對傳送帶的總壓力的大小近似等于貨物的重力：由于輪軸等方面的摩擦，電動機(jī)（轉(zhuǎn)化為機(jī)械功）的效率為80%．取g=10m/s²．求：

（1）要使該貨物能到達(dá)BC平臺，求電動機(jī)需工作的最短時間．
（2）要把貨物盡快地運送到BC平臺，電動機(jī)的最大輸出功率至少能多大？
（3）如果電動機(jī)接在輸出電壓為120V的恒壓電源上，電動機(jī)的內(nèi)阻r=6Ω，在把貨物最快地運送到BC平臺的過程中，電動機(jī)消耗的電能共有多少？

Answer 1

分析 （1）要使時間最短，貨物應(yīng)一直加速，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，然后根據(jù)位移時間關(guān)系公式列式求解時間；
（2）已知貨物的質(zhì)量可以得到重力，已知重力和上升高度，利用W=Gh計算克服重力做的功；已知克服重力做的功和轉(zhuǎn)化效率，可以得到電動機(jī)做的功；利用電動機(jī)做的功和做功時間，得到電動機(jī)的輸出功率；
（3）電動機(jī)消耗的總電能包括兩部分：克服重力做的功和產(chǎn)生熱量消耗的電能，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解正常工作電流；根據(jù)W=UIt計算消耗的總電能．

解答 解：（1）要使時間最短，貨物應(yīng)一直加速，設(shè)勻加速上行的加速度為a₁，則有：
μmgcosθ-mgsinθ=ma₁
把sinθ=$\frac{2.4}{12}$=0.2，cosθ≈1代入上式得：
a₁=2m/s²．
由于受最大速度v_m=6m/s的限制，易知經(jīng)過t₁=3s后貨物勻速運動．
加速位移：
l₁=$\frac{1}{2}$v_m t₁=9m，
此后貨物還得運動：
l₂=12m-9m=3m
假設(shè)此后電動機(jī)不工作，根據(jù)牛頓第二定律，有：
μmgcosθ+mgsinθ=ma₂
解得：a₂=6m/s²．
貨物能夠上滑的最大距離為：
S=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{6}^{2}}{2×6}$=3m，剛好能夠到達(dá)平臺，假設(shè)正確．
該貨物能到達(dá)BC平臺，電動機(jī)需工作的最短時間為：
t_min=t₁=3s．
（2）要把貨物盡快地運送到BC平臺，由第（1）小題可知貨物應(yīng)該先加速后勻速，在加速過程中，傳送帶受到的摩擦力：
f₁=μmgcosθ=80N
需提供的最大功率：
P₁=f₁v_m=80×6W=480W
之后勻速運動，受到的摩擦力：
f₂=mgsinθ=40N
電動機(jī)功率：
P₂=f₂v_m=40×6W=240W
考慮到效率，電動機(jī)的輸出功率不得小于P_m=$\frac{{P}_{1}}{0.8}$=600W．
（3）由上述分析可知，勻加速運動時間t₁=3s，此過程電動機(jī)的輸出功率為P₁’=600W．
由P₁′=UI₁-I₁²r，解得I₁=10A．
消耗電能：
E₁=UI₁ t₁=120×10×3J=3600J．
勻速運動過程：
t₂=$\frac{{l}_{2}}{{v}_{m}}$=0.5s
此過程電動機(jī)的輸出功率為：
P₂’=P₂/0.80=300W．
由P₂′=UI₂-I₂²r解得：
I₂=（10-5$\sqrt{2}$）A．
消耗電能：
E₂=UI₂ t₂=120×（10-5$\sqrt{2}$）×0.5J=（600-300$\sqrt{2}$）J．
總消耗電能E=E₁+E₂=（4200-300$\sqrt{2}$）J=3776J．
答：（1）要使該貨物能到達(dá)BC平臺，電動機(jī)需工作的最短時間為3s．
（2）要把貨物盡快地運送到BC平臺，電動機(jī)的輸出功率至少為600W．
（3）如果電動機(jī)接在輸出電壓為120V的恒壓電源上，電動機(jī)的內(nèi)阻r=6Ω，在把貨物最快地運送到BC平臺的過程中，電動機(jī)消耗的電能共有3776J．

點評 電動機(jī)帶動傳送帶升高物體的過程中，有兩次能量轉(zhuǎn)化：首先電能轉(zhuǎn)化為電動機(jī)的機(jī)械能和線圈的內(nèi)能；其次電動機(jī)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化成物體的重力勢能和機(jī)械間摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，所以效率是不斷降低的．