Question

14．飛行器常用的動(dòng)力系統(tǒng)推進(jìn)器設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)化原理如圖1所示：截面半徑為R的圓柱腔分別為兩個(gè)工作區(qū)，Ⅰ為電離區(qū)，將氙氣電離獲得1價(jià)正離子．Ⅱ?yàn)榧铀賲^(qū)，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，兩端加有電壓，形成軸向（水平）的勻強(qiáng)電場(chǎng)．Ⅰ區(qū)產(chǎn)生的正離子以接近0的初速度進(jìn)入Ⅱ區(qū)，被加速后以速度v_m從右側(cè)噴出．
Ⅰ區(qū)內(nèi)有軸向（水平）的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在離軸線(xiàn)$\frac{R}{2}$處的C點(diǎn)持續(xù)射出一定速度范圍的電子．假設(shè)射出的電子僅在垂直于軸線(xiàn)（水平）的截面上運(yùn)動(dòng)，截面如圖2所示（從左向右看）．電子的初速度方向與中心〇點(diǎn)和C點(diǎn)的連線(xiàn)成α角（0＜α＜90°）．
     推進(jìn)器工作時(shí)，向I區(qū)注入稀薄的氙氣．電子使氙氣電離，電子的最小速度為v₀，電子在Ⅰ區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達(dá)的區(qū)域越大，電離效果越好．已知離子質(zhì)量為M；電子質(zhì)量為m，電量為e，（電子碰到器壁即被吸收，不考慮電子間的碰撞）．
（1）求Ⅱ區(qū)的加速電壓及離子的加速度大��；
（2）為電子在Ⅰ區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且運(yùn)動(dòng)半徑最大，請(qǐng)判斷I區(qū)中的磁場(chǎng)方向（按圖2 說(shuō)明是“垂立紙面向里”或“垂直紙面向外”）；
（3）α為90°時(shí)，要取得好的電離效果，求射出的電子速率的最大值；
（4）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_m與α的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只受電場(chǎng)力作用，電場(chǎng)力做正功，利用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可解的加速電壓和離子的加速度大�。�
（2）因電子在I區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達(dá)的區(qū)域越大，電離效果越好，所以可知電子應(yīng)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)合左手定則可知磁場(chǎng)的方向．
（3）通過(guò)幾何關(guān)系分析出離子運(yùn)功的最大軌道半徑，洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律可計(jì)算出離子的最大速度．
（4）畫(huà)出軌跡圖，通過(guò)幾何關(guān)系解出軌道的最大半徑，再結(jié)合洛倫茲力提供向心力列式，即可得出射出的電子最大速率v_M與α的關(guān)系．

解答 解：（1）離子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：eU=$\frac{1}{2}M{v}_{m}^{2}$
得：U=$\frac{M{v}_{m}^{2}}{2e}$
離子做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得：
${v}_{m}^{2}$=2aL
得：a=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2L}$
（2）要取得較好的電離效果，電子須在出射方向左邊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即為按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知，此刻Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)應(yīng)該是垂直紙面向外．
（3）當(dāng)α=90°時(shí)，最大速度對(duì)應(yīng)的軌跡圓如圖一所示，與Ⅰ區(qū)相切，
此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=$\frac{3}{4}$R
洛倫茲力提供向心力，有：Bev_max=m$\frac{{v}_{max}^{2}}{r}$
得：v_max=$\frac{3BeR}{4m}$
所以有：v₀≤v≤$\frac{3BeR}{4m}$
此刻必須保證B＞$\frac{4m{v}_{0}}{3eR}$
（4）當(dāng)電子以α角入射時(shí)，最大速度對(duì)應(yīng)軌跡如圖二所示，軌跡圓與圓柱腔相切，
此時(shí)有：∠OCO′=90°-α
OC=$\frac{R}{2}$，O′C=r，OO′=R-r，
由余弦定理有：（R-r）²=（$\frac{R}{2}$）²+r²-2r•$\frac{R}{2}$•cos（90°-α）
cos（90°-α）=sinα
聯(lián)立解得：r=$\frac{3R}{8-4sinα}$
再由：r=$\frac{m{v}_{M}}{eB}$
得：v_M=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$．
答：（1）求Ⅱ區(qū)的加速電壓為$\frac{M{v}_{M}^{2}}{2e}$，離子的加速度大小為$\frac{{v}_{M}^{2}}{2L}$；
（2）為取得好的電離效果，判斷I區(qū)中的磁場(chǎng)方向是垂直紙面向外；
（3）α為90°時(shí)，要取得好的電離效果，求射出的電子速率的最大值為$\frac{3BeR}{4m}$；
（4）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_m與a的關(guān)系為v_M=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$．

點(diǎn)評(píng) 該題的文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，要求要快速的從中找出物理信息，創(chuàng)設(shè)物理情境；平時(shí)要注意讀圖能力的培養(yǎng)，以及幾何知識(shí)在物理學(xué)中的應(yīng)用，解答此類(lèi)問(wèn)題要有畫(huà)草圖的習(xí)慣，以便有助于對(duì)問(wèn)題的分析和理解；再者就是要熟練的掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和半徑公式的應(yīng)用．