Question

8．如圖所示，在xoy平面的第II象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q兩點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直于xoy面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在第I象限內(nèi)存在沿軸y負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．一帶正電的粒子（不計(jì)重力）以速率v₀從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)后恰好垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，最后從M（3R，0）點(diǎn)射出電場(chǎng)，出射方向與x軸正方向夾角為α，且滿足α=45°，求：

（1）帶電粒子的比荷；
（2）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）粒子從P點(diǎn)入射磁場(chǎng)到M點(diǎn)射出電場(chǎng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點(diǎn)y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的比荷；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，求出粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的位置，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用洛倫茲力提供向心力的公式，求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，利用幾何關(guān)系求出cosθ之值．

解答 解：（1）M處，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：
v_y=v₀tanα
qE=ma
v_y=at₃
3R=v₀t₃
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3RE}$
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，設(shè)O₁為磁場(chǎng)的圓心，O₂為粒子軌跡圓心，P′為粒子射出磁場(chǎng)的位置，則：

P′O₂∥PO₁P₁；
速率v₀從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)后恰好垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，
那么四邊形O₁O₂P′P是菱形，
因此粒子的軌道半徑為：r=R
Bqv₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
B=$\frac{3E}{{v}_{0}}$
（3）粒子從N進(jìn)入電場(chǎng)，ON=y，
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：
y=$\frac{1}{2}$at₃²
qE=ma
3R=v₀t₃
得：y=$\frac{3}{2}$R
t₃=$\frac{3R}{{v}_{0}}$
y=R+Rcosθ
θ=$\frac{π}{3}$
P到P′的時(shí)間為t₁，
Bqv₀=m（$\frac{2π}{T}$）²r
t₁=$\frac{（π-θ）}{2π}$T
t₁=$\frac{2πm}{3qB}$=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$
P′N(xiāo)=$\frac{R-Rsinθ}{{v}_{0}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R
P到M的總時(shí)間為t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{8-\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R
答：（1）帶電粒子的比荷為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3RE}$；
（2）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3E}{{v}_{0}}$；
（3）粒子從P點(diǎn)入射磁場(chǎng)到M點(diǎn)射出電場(chǎng)的時(shí)間為$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{8-\sqrt{3}}{2{v}_{0}}$R．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．