Question

如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R＝m，兩輪軸心相距L＝3.75 m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑．一個質(zhì)量為0.1 kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ＝．g取10 m/s²．

(1)當(dāng)傳送帶沿逆時針方向以v₁＝3 m/s的速度勻速運動時，將小物塊無初速地放在A點后，它運動至B點需多長時間？(計算中可取≈16，≈20)

(2)小物塊相對于傳送帶運動時，會在傳送帶上留下痕跡．當(dāng)傳送帶沿逆時針方向勻速運動時，小物塊無初速地放在A點，運動至B點飛出．要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運動的速度v₂至少多大？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)小物塊速度小于3 m/s時，小物塊受到豎直向下、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運動，設(shè)加速度為a1，根據(jù)牛頓第二定律 　　mgsin30°＋μmgcos30°＝ma1　�、佟　�1分 　　解得a1＝7.5 m/s2 　　當(dāng)小物塊速度等于3 m/s時，設(shè)小物塊對地位移為L1，用時為t1，根據(jù)勻加速直線運動規(guī)律 　　t1＝　�、凇　�1分 　　L＝　�、邸　�1分 　　解得t1＝0.4 s　L1＝0.6 m 　　由于L1＜L且μ＜tan30°，當(dāng)小物塊速度大于3 m/s時，小物塊將繼續(xù)做勻加速直線運動至B點，設(shè)加速度為a2，用時為t2，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運動規(guī)律 　　mgsin30°－μmgcos30°＝ma2　�、堋　�1分 　　解得a2＝2.5 m/s2 　　L－L1＝v1t2＋a2t22　　⑤　　1分 　　解得t2＝0.8 s 　　故小物塊由禁止出發(fā)從A到B所用時間為t＝t1＋t2＝1.2 s　　1分 　　(2)作v－t圖分析知：傳送帶勻速運動的速度越大，小物塊從A點到B點用時越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值時，小物塊將從A點一直以加速度a1做勻加速直線運動到B點，所用時間最短，即 　　L＝a1tmin2　　⑥　　1分 　　解得tmin＝1 s 　　v＝a1tmin＝7.5 m/s 　　此時小物塊和傳送帶之間的相對路程為ΔS＝t－L＝3.75 m 傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時間保持不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長度等于傳送帶周長時，痕跡為最長Smax，設(shè)此時傳送帶速度為v2，則 　　Smax＝2L＋2πR　�、摺　�1分 　　Smax＝v2t－L　�、唷　�1分 　　聯(lián)立⑥⑦⑧解得v2＝12.25 m/s　　1分