Question

5．如圖，用跨過(guò)光滑定滑輪的纜繩將海面上一搜失去動(dòng)力的小船沿直線(xiàn)拖向岸邊．已知拖動(dòng)纜繩的電動(dòng)機(jī)功率恒為P=2kW，小船的質(zhì)量為m=10³kg，小船受到的阻力大小恒為重力的0.1倍，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的繩子的速度大小為v=1.6m/s，繩子與水平面的夾角是37?，小船從A點(diǎn)沿直線(xiàn)加速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)經(jīng)歷時(shí)間為t₁=2s，A、B兩點(diǎn)間距離為d=2m，纜繩質(zhì)量忽略不計(jì)．（sin37?=0.6，cos37?=0.8，g=10m/s²）求：
（1）小船在A點(diǎn)的速度；
（2）小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的全過(guò)程克服阻力做的功W_f；
（3）小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（4）若小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)繩子與水平面的夾角為45?，求小船的加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度的合成與分解求解；
（2）應(yīng)用功的定義式求解；
（3）對(duì)A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（4）根據(jù)速度的分解求得繩子的收縮速度，進(jìn)而求得牽引力，然后對(duì)小船進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律求得加速度．

解答 解：（1）經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的繩子的速度大小為v=1.6m/s，繩子與水平面的夾角是37?，那么小船沿繩子收縮方向的速度為v，所以，小船在A點(diǎn)的速度${v}_{A}=\frac{v}{cos37°}=2m/s$；
（2）小船從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，受到的阻力恒為f，方向向左，故其克服阻力做的功為：${W}_{f}=fd=0.1mgd=2×1{0}^{3}J$；
（3）小船從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，只有阻力和電動(dòng)機(jī)通過(guò)繩對(duì)小船做功，那么由動(dòng)能定理可得：$P{t}_{1}-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$；
所以，${v}_{B}=\sqrt{\frac{2（P{t}_{1}-{W}_{f}）}{m}+{{v}_{A}}^{2}}=2\sqrt{2}m/s$；
（4）若小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)繩子與水平面的夾角為45?，那么，繩子收縮速度v′=v_Bcos45°=2m/s，所以，繩子的拉力$F=\frac{P}{v′}=1000N$；
對(duì)小船應(yīng)用牛頓第二定律可得：Fcos45°-0.1mg=ma，所以，$a=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，故小船的加速度大小為$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
答：（1）小船在A點(diǎn)的速度為2m/s；
（2）小船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的全過(guò)程克服阻力做的功W_f為2×10³J；
（3）小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B為$2\sqrt{2}m/s$；
（4）若小船經(jīng)過(guò)B點(diǎn)≈時(shí)繩子與水平面的夾角為45?，小船的加速度大小為$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．