Question

1．某行星自轉(zhuǎn)周期為T，赤道半徑為R，科學(xué)家經(jīng)過嚴(yán)密計算發(fā)現(xiàn)，若該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉淼?倍，將會導(dǎo)致該行星赤道上物體恰好對行星表面沒有壓力，已知萬有引力常量為G，則以下說法正確的是（　�。�

• A． 該行星質(zhì)量為$\frac{{{36π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
• B． 該行星的同步衛(wèi)星軌道半徑為r=$\root{3}{9}$R
• C． 該行星的第一宇宙速度為v=$\frac{2πR}{T}$
• D． 該行星赤道上質(zhì)量為m的物體對地面的壓力F_N=$\frac{{36π}^{2}mR}{{T}^{2}}$

Answer 1

分析 由“該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉砣�倍時，將導(dǎo)致該星球赤道上物體將恰好對行星表面沒有壓力”可知此時赤道上的物體做勻速圓周運動，由重力充當(dāng)向心力，據(jù)此可得該行星的質(zhì)量．同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬有引力提供向心力的周期表達(dá)式可得同步衛(wèi)星的軌道半徑．行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力，由此可得支持力大小，進(jìn)而可知壓力大�。�由圓周運動的公式求行星的第一宇宙速度．

解答 解：A、該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉砣�倍，則周期將變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，即為$\frac{1}{3}$T，由題意可知此時該星球赤道上物體做勻速圓周運動，由重力充當(dāng)向心力，則有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{T}{3}）^{2}}$，解得該行星質(zhì)量為：M=$\frac{36{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正確；
B、該星球的同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，結(jié)合 M=$\frac{36{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，得：該星球的同步衛(wèi)星軌道半徑為r=$\root{3}{9}$R，故B正確；
C、該行星的第一宇宙速度為 v=$\frac{2πR}{T′}$，T′是近地衛(wèi)星的周期，根據(jù)開普勒第三定律知，T′＜T（同步衛(wèi)星的周期），故得v＞$\frac{2πR}{T}$，故C錯誤
D、行星地面物體的受的引力和支持力的合力提供向心力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F_N′=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：F_N′=$\frac{32m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，由牛頓第三定律可知質(zhì)量為m的物體對行星赤道地面的壓力為F_N=F_N′=$\frac{32m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故D錯誤；
故選：AB

點評 通過本題的練習(xí)要明確行星自轉(zhuǎn)的時候，地面物體萬有引力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物體恰好對行星表面沒有壓力”時才由引力完全充當(dāng)向心力．