Question

如圖所示，一小圓盤(pán)靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央，桌布的一邊與桌的AB邊重合．已知方桌的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓盤(pán)與桌布間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，圓盤(pán)與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂．現(xiàn)突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB邊．若圓盤(pán)最后未從桌面掉下，以g表示重力加速度，求：
（1）桌布與圓盤(pán)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間分離？
（2）為使圓盤(pán)不從桌面掉下，則加速度a滿(mǎn)足的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出圓盤(pán)在桌布上做加速運(yùn)動(dòng)的加速度，抓住桌布的位移和圓盤(pán)的位移之差等于

L

2

，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出桌布與圓盤(pán)分離的時(shí)間．
（2）圓盤(pán)離開(kāi)桌布后，在桌面上做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，抓住圓盤(pán)在勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移之和小于等于

L

2

，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速度a滿(mǎn)足的條件．

解答：解：（1）設(shè)圓盤(pán)的質(zhì)量為m，圓盤(pán)在桌布上做加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁，則
????f₁=μ₁mg=ma₁
以地面為參考系，設(shè)桌布從盤(pán)下抽出所經(jīng)歷的時(shí)間為t₁，在這段時(shí)間內(nèi)桌布移動(dòng)的位移為x，圓盤(pán)移動(dòng)的位移為s₁，
有x=

1

2

a

t

2 1

，s1=

1

2

a1

t

2 1

由題意分析可知，當(dāng)桌布比圓盤(pán)多運(yùn)動(dòng)了

L

2

的位移時(shí)，盤(pán)布分離，即
x-s₁=

L

2

聯(lián)立以上各式，可以解得t1=

L a-μ1g

（2）桌布抽出后，圓盤(pán)在桌面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，以a₂表示圓盤(pán)的加速度的大小，有
f₂=μ₂mg=ma₂
設(shè)圓盤(pán)剛離開(kāi)桌布時(shí)的速度大小為v，離開(kāi)桌布后在桌面上再運(yùn)動(dòng)距離s₂時(shí)停止，有
??v²=2a₁s₁，v²=2a₂s₂

s2

s1

=

a1

a2

=

μ1

μ2

，所以s₂=

μ1

μ2

s1
盤(pán)沒(méi)有從桌面上掉下的條件是s₁+s₂≤

L

2

由以上各式解得a≥

μ1+2μ2

μ2

?μ1g
答：（1）桌布與圓盤(pán)經(jīng)t1=

L a-μ1g

分離．
（2）為使圓盤(pán)不從桌面掉下，則加速度a滿(mǎn)足的條件是a≥

μ1+2μ2

μ2

?μ1g．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清圓盤(pán)和桌布的運(yùn)動(dòng)情況，抓住位移關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律進(jìn)行求解．