Question

6．有一條兩岸平直、水流均勻、流速恒定的大河．河寬d=100m，小明駕著小船渡河，去程時(shí)船在靜水中的速度是水流速度的2倍，回程時(shí)船在靜水中的速度是水流速度的$\frac{1}{2}$．
（1）若去程時(shí)渡河時(shí)間最短，則船到達(dá)對(duì)岸的位置離出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？
（2）若回程時(shí)航行距離最短，則船回到本岸后，小明要沿河岸走多遠(yuǎn)才能回到他當(dāng)初的出發(fā)點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）將小船的運(yùn)動(dòng)分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，求出垂直于河岸方向上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即得出渡河的時(shí)間．從而得出小船到達(dá)對(duì)岸時(shí)向的位移．
（2）先求出小船到達(dá)對(duì)岸時(shí)向下游偏移的位移；
再根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，判斷出回程最短對(duì)應(yīng)的條件，然后求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及小船到達(dá)本岸時(shí)向下游偏移的位移，再由幾何關(guān)系即可求出要沿河岸走多遠(yuǎn)才能回到他當(dāng)初的出發(fā)點(diǎn)．

解答 解：（1）若渡河的時(shí)間最短，則船頭的方向與河岸的方向垂直，設(shè)水流的速度為v，去時(shí)的速度為v₁，則渡河的時(shí)間為：t=$\frac7lzr7dd{{v}_{1}}=\frac{t}{2v}$，
小船到達(dá)對(duì)岸時(shí)向下游偏移的位移為：x₁=vt=$\fracbdr7hpf{2v}•v=\fracffh7xbb{2}=\frac{100}{2}=50$m．
船到達(dá)對(duì)岸的位置離出發(fā)點(diǎn)的距離是：L=$\sqrt{7xb7bb7^{2}+{x}_{1}^{2}}$=$50\sqrt{5}$m
（2）若船的速度是水流速度的一半，則航程最短時(shí)，船頭的速度方向與合速度的方向垂直，設(shè)合速度的方向與河岸方向之間的夾角為θ，船的速度大小為v₂，則：
$sinθ=\frac{{v}_{2}}{v}=\frac{1}{2}$
所以：θ=30°
船回到本岸時(shí)，沿水流方向向下的位移滿足：
$\fracf7vz7v7{{x}_{2}}=tanθ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以有：${x}_{2}=\sqrt{3}d=100\sqrt{3}$m
小明要沿河岸走回他當(dāng)初的出發(fā)點(diǎn)的距離為：
x=x₁+x₂=50+$100\sqrt{3}$=50（1+2$\sqrt{3}$）m
答：（1）若去程時(shí)渡河時(shí)間最短，則船到達(dá)對(duì)岸的位置離出發(fā)點(diǎn)的距離是50$\sqrt{5}$m；
（2）若回程時(shí)航行距離最短，則船回到本岸后，小明要沿河岸走50（1+2$\sqrt{3}$）m才能回到他當(dāng)初的出發(fā)點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 該題考查小船渡河問題，解決本題的關(guān)鍵知道分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，以及知道各分運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性，互不干擾．