Question

如圖所示，虛線L₁、L₂之間是磁感應強度為B₁的勻強磁場，虛線L₂、L₃之間是磁感應強度為B₂的勻強磁場，L₁、L₂、L₃都水平，L₂、L₃高度差為a．質(zhì)量為m、邊長為a的正方形線框自某一高度由靜止下落，依次經(jīng)過兩勻強磁場區(qū)域．已知L₁、L₂間高度為2a，線框在進入B₁的過程中做勻速運動，速度大小為v₁，在B₁中加速一段時間后又勻速進入和穿出B₂，進入和穿出B₂時的速度恒為v₂，求：
（1）B₁：B₂；            
（2）v₁：v₂；
（3）在整個下落過程中線框中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：線框在進入B₁的過程中勻速運動，即線框所受重力和線框所受的安培力平衡，當線框剛進入B₂的過程中，線框所受的重力和安培培力仍舊平衡，注意此時線框所受的安培力有兩個，B₁磁場和B₂磁場的作用力，兩個力的合力與重力平衡；當線框離開磁場B₂的過程中，同樣是安培力和重力平衡，據(jù)三種情況下的平衡方程，可以求出相應磁感應強度和速度的比值；整個過程中重力做功重力勢能減小，線框的動能增加，線圈中產(chǎn)生焦耳熱，根據(jù)能量守恒可以知道重力勢能的減少量等于線框動能的增量和產(chǎn)生焦耳熱之和．

解答：解：（1）因為線框進入磁場B₁時做速度為v₁的勻速運動，線框所受安培力與重力平衡，固有：
B₁Ia=mg
又因為I=

B1av1

R

即

B 2 1 a2v1

R

=mg          ①
當線框從B₁進入B₂的過程中做速度為v₂的勻速運動，有：
（B₁-B₂）I₂a=mg
又因為I2=

(B1-B2)av2

R

即

(B1-B2)2a2v2

R

=mg        ②
當線框出磁場B₂的過程中，線框受力平衡，有：
B₂I₃v₂=mg
此時電流I3=

B2av2

R

即

B22a2v2

R

=mg         ③
由①②③得：

B1

B2

=

2

1

v1

v2

=

1

4

（2）根據(jù)能量守恒可知：減少的重力勢能等于線框增加的動能和線圈中產(chǎn)生的熱量之和即：
mg4a=Q+（

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

）     ④
又因為線框加速的過程是在線框完全進入B₁到線框剛開入B2的這一過程中，根據(jù)題意，在這一過程中只有重力對線框做功，故有：
mga=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

        ⑤
由④和⑤知，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱Q=3mga
答：（1）B₁：B₂=2：1
（2）v₁：v₂=1：4
（3）在整個下落過程中線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q=3mga．

點評：抓住三個過程中線框均處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡列式，能正確表示出安培力的大小．在整個過程中遵守能量守恒．