Question

5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強電場；在y＜0的空間中，存在一勻強磁場，磁場方向垂直xy平面（紙面）向外．一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子（重力不計），從y軸的P₁點以速度v₀垂直y軸射入第一象限內(nèi)，經(jīng)過電場后從x軸上x=2h的P₂點以與x軸正方向成α角射入x軸下方的勻強磁場．帶電粒子通過y軸下方的磁場偏轉(zhuǎn)之后，從x軸負(fù)方向x=-h的P₃點射入第Ⅱ象限．如果當(dāng)粒子進(jìn)入第Ⅱ象限的同時，在第Ⅱ象限內(nèi)加一方向與粒子速度方向相反的勻強電場，使得帶電粒子在到達(dá)y軸之前速度減為0，然后又返回磁場中．
（1）求P₁點到坐標(biāo)原點的距離以及電場強度的大小；
（2）求勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小；
（3）求帶電粒子第四次經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)以及之前在磁場中運動的總時間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，由運動的合成和分解法，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合求解P₁到坐標(biāo)原點的距離及電場強度的大小；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場后由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運動，畫出其運動軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強度B．
（3）粒子進(jìn)入第二象限時，在勻強電場中做有往復(fù)的勻變速直線運動，畫出帶電粒子第四次經(jīng)過x軸以前的運動軌跡，根據(jù)幾何知識求出坐標(biāo)．根據(jù)時間與周期的關(guān)系求解粒子磁場中運動的總時間．

解答 解：（1）帶電粒子在第Ⅰ象限的電場中做類平拋運動，有
沿x方向：v_x=v₀，2h=v₀t    
沿y方向：v_y=v₀tanα，v_y=at
由牛頓第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$                 
由以上各式解得電場強度大小 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}tanα}{2qh}$
P₁點到坐標(biāo)原點的距離 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=htanα
（2）粒子在磁場中做圓周運動的半徑 R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosα}$
由幾何關(guān)系得 R=$\frac{3h}{2sinα}$ 
聯(lián)立解得 B=$\frac{2m{v}_{0}tanα}{3hq}$        
（3）帶電粒子在第四次到達(dá)x軸之前的運動軌跡如圖所示．
設(shè)P₄點的橫坐標(biāo)為-（△x+h），由圖可知△x=2Rsinα=3h 
經(jīng)分析可得P₄的坐標(biāo)為（-4h，0）；
由于帶電粒子兩次在磁場中運動的過程正好拼成一個完整的圓，所以在磁場中運動的總時間為
  t=T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3πh}{{v}_{0}tanα}$
答：
（1）P₁點到坐標(biāo)原點的距離為htanα，電場強度的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}tanα}{2qh}$；
（2）勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小為$\frac{2m{v}_{0}tanα}{3hq}$；
（3）帶電粒子第四次經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)為（-4h，0），之前在磁場中運動的總時間為$\frac{3πh}{{v}_{0}tanα}$．

點評 本題的解題關(guān)鍵是畫出帶電粒子的運動軌跡，運用幾何知識求出坐標(biāo)與軌跡半徑的關(guān)系，還要抓住周期性進(jìn)行分析．