Question

7．某同學(xué)根據(jù)所學(xué)知識設(shè)計了如圖所示加速器，給質(zhì)量為m，電量為+q的小球（視為質(zhì)點）加速，兩固定的平行金屬板上下放置，板間固定一半徑為R的豎直光滑絕緣圓軌道，在軌道最高點和最低點處各有一個感應(yīng)器（視為質(zhì)點）．某時刻小球以初速度v₀從軌道最低點水平向右沖入圓軌道，感應(yīng)器立刻通過控制電路在兩金屬板間加上大小恒定的電壓，使板間產(chǎn)生方向豎直向上的電場強度E，且qE=2mg，之后小球每經(jīng)過一次感應(yīng)器感應(yīng)器就通過控制電路使電場反向一次：
（1）要讓小球始終不脫離軌道，v₀至少為多大？
（2）在v₀取（1）臨界值情況下，小球轉(zhuǎn)了n圈回到出發(fā)點時的速度多大？
（3）若感應(yīng)器從感知小球到通過控制電路使電場反向，需要反應(yīng)時間△t，求該加速器能使小球達(dá)到的最大速度（小球達(dá)最大速度時可近視為作勻速圓周運動）．

Answer 1

分析 （1）首先分析小球的受力情況，據(jù)圓周運動的臨界條件和動能定理求解即可．
（2）據(jù)動能定理求出轉(zhuǎn)n圈回到出發(fā)點的速度；
（3）據(jù)反應(yīng)時間，分析小球的運動，當(dāng)小球速度最大時，運動一周的時間為2△t，據(jù)此求解即可．

解答 解：（1）以小球為研究對象，受重力和電場力的合力為mg，方向向上，所以要讓小球始終不脫離軌道，在低點做圓周運動，即mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$
（2）小球轉(zhuǎn)一圈時，電場力和重力做的功為：2mgR+6mgR=8mgR
小球轉(zhuǎn)了n圈回到出發(fā)點時，據(jù)動能定理得：8nmgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{16ngR+gR}$
（3）由于反應(yīng)時間△t，當(dāng)小球到達(dá)下一個感應(yīng)器時，小球的速度最大，即小球轉(zhuǎn)動一周的時間為2△t，
此時的速度為：v_max=$\frac{2πR}{2△t}$=$\frac{πR}{△t}$
答：（1）要讓小球始終不脫離軌道，v₀至少為$\sqrt{gR}$．
（2）在v₀取（1）臨界值情況下，小球轉(zhuǎn)了n圈回到出發(fā)點時的速度$\sqrt{16ngR+gR}$
（3）若感應(yīng)器從感知小球到通過控制電路使電場反向，需要反應(yīng)時間△t，該加速器能使小球達(dá)到的最大速度$\frac{πR}{△t}$．

點評 本題是信息題，難度較大，關(guān)鍵是類比圓周運動的臨界條件是解題的突破口，靈活利用動能定理和反應(yīng)時間分析小球的最大速度，總之，此題的靈活性很強．