Question

如圖所示，小球沿水平面以初速v₀通過O點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的豎直半圓弧軌道，不計一切阻力．下列說法正確的是（　�。�

• A、若小球恰能通過半圓弧最高點(diǎn)P，則小球的在最高點(diǎn)的速度恰好為零
• B、若小球恰能通過半圓弧最高點(diǎn)P，則小球的在最高點(diǎn)的速度恰好為

  gR

• C、若小球恰能通過半圓弧最高點(diǎn)P，則小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的水平距離為2R
• D、若小球恰能通過半圓弧最高點(diǎn)P，則小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的水平距離為4R

Answer 1

分析：（1）在最高點(diǎn)對小球進(jìn)行受力分析，小球做圓周運(yùn)動，求出提供的向心力，由牛頓第二定律列方程，
根據(jù)小球做圓周運(yùn)動所需要的向心力與提供的向心力間的關(guān)系，求出小球恰好通過最高點(diǎn)的條件．
（2）小球恰能通過最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求出小球落地點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離．

解答：解：（1）小球在最高點(diǎn)受豎直向下的重力mg，可能受到豎直向下軌道的壓力F，這兩個力的合力提供向心力，
由牛頓第二定律得：F+mg=m

v2

R

，在m、R一定的情況下，mg是一個定值不變，v越小，小球做圓周運(yùn)動需要的向心力越小，軌道對小球的壓力F越小，當(dāng)F=0時，mg=m

v2

R

，v=

gR

，如果小球速度v＜

gR

，小球的重力將大于小球做圓周運(yùn)動所需要的向心力，小球?qū)⒚撾x軌道，不能做圓周運(yùn)動，由此可見，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的條件是v≥

gR

，小球恰好通過最高點(diǎn)時，v=

gR

．
（2）小球恰能通過半圓弧最高點(diǎn)時v=

gR

，離開最高點(diǎn)后，小球做平拋運(yùn)動，
在豎直方向上，小球做自由落體運(yùn)動：2R=

1

2

gt²，t=

4R g

，
在水平方向上，小球做勻速直線運(yùn)動：x=vt=

gR

×

4R g

=2R．
故選BC．

點(diǎn)評：本題涉及到了小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的臨界條件：小球在最高點(diǎn)v≥

gR

，分析小球通過最高點(diǎn)的條件對學(xué)生來說是一個難點(diǎn)．