Question

8．如圖所示，半徑分別為a和2a的同心圓形導(dǎo)軌上有一長(zhǎng)為a的金屬棒AB，繞圓心O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，AB延長(zhǎng)線通過圓心，圓環(huán)內(nèi)分布有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．通過電刷把兩圓環(huán)與兩豎直平行金屬板P、Q連接與如圖所示的電路，R₁、R₂是定值電阻．帶正電的小球通過絕緣細(xì)線掛在兩板間M點(diǎn)，被拉起到水平位置；合上開關(guān)K，無初速度釋放小球，小球沿圓弧經(jīng)過M點(diǎn)正下方的N點(diǎn)的另一側(cè)．
已知：磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；棒的角速度大小為ω，電阻為r：R₁=R₂=2r，圓環(huán)電阻不計(jì)：P、Q兩板間距為d：帶電小球的質(zhì)量為m、電量為q；重力加速度為g．求：
（1）棒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的方向：
（2）P、Q間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（3）小球通過N點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)線拉力F_T的大�。�
（4）假設(shè)釋放后細(xì)線始終沒有松弛，求最大偏角θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球擺動(dòng)的高度確定極板的極性，根據(jù)右手定則判斷導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)方向；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路的歐姆定律PQ的電壓，再根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算公式求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）設(shè)細(xì)繩長(zhǎng)度為L(zhǎng)，小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求解小球通過N點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)線拉力F_T的大�。�
（4）設(shè)動(dòng)能最大的位置偏角為β，根據(jù)幾何關(guān)系求解最大偏角．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得：小球從水平位置釋放后，能沿圓弧向下擺動(dòng)，故小球受到電場(chǎng)力方向水平向右，P板帶正電、Q板帶負(fù)電，根據(jù)右手定則可知，導(dǎo)體棒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；
（2）導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感應(yīng)線，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得電動(dòng)勢(shì)E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{3Bω{a}^{2}}{2}$，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$，
則PQ的電壓為：U=IR₂，
故PQ間的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：E_{場(chǎng)強(qiáng)}=$\frac{U}em224gm$，
聯(lián)立解得：E_{場(chǎng)強(qiáng)}=$\frac{3Bω{a}^{2}}{5d}$；
（3）設(shè)細(xì)繩長(zhǎng)度為L(zhǎng)，小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
mgL-qE_{電場(chǎng)}L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由于F_T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得：F_T=3mg-$\frac{6qBω{a}^{2}}{5d}$；
（4）設(shè)動(dòng)能最大的位置偏角為β，則tanβ=$\frac{mg}{q{E}_{電場(chǎng)}}$，
所以θ=2β=2arctan$\frac{mg}{q{E}_{電場(chǎng)}}$=2arctan$\frac{5mgd}{3qBω{a}^{2}}$．
答：（1）棒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針：
（2）P、Q間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{3Bω{a}^{2}}{5d}$；
（3）小球通過N點(diǎn)時(shí)對(duì)細(xì)線拉力F_T的大小為3mg-$\frac{6qBω{a}^{2}}{5d}$；
（4）假設(shè)釋放后細(xì)線始終沒有松弛，最大偏角為2arctan$\frac{5mgd}{3qBω{a}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．