Question

如圖所示，M、N、P為很長的平行邊界面，M與N和M與P間的間距分別為l₁、l₂，其間有方向都垂直于紙面向里勻強磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，磁感應強度大小分別為B₁和B₂，且B₁≠B₂，有一帶正電的電量為q、質量為m的粒子，以某一初速度既垂直磁場邊界N又垂直于磁場方向射入MN間的磁場區(qū)域．不計粒子的重力．求：
（1）要使粒子能穿過磁場區(qū)域Ⅰ進入磁場區(qū)域Ⅱ，粒子的初速度υ₀至少應為多少？
（2）若粒子進入磁場區(qū)域Ⅰ的初速度υ₁=

2qB1

m

，則粒子第一次穿過磁場區(qū)域Ⅰ的時間t₁是多少？
（3）當粒子初速度υ為多少時，粒子才能恰好穿過兩個磁場區(qū)域．

Answer 1

分析：（1）恰好能進入Ⅱ磁場時速度恰好沿M邊界，則可確定運動的半徑，再由牛頓第二定律，結合向心力表達式，即可求解；
（2）根據牛頓第二定律，結合運動圓弧對應的圓心角，即可求解；
（3）粒子在磁場B₂中的運動軌跡恰好與P邊界相切，根據牛頓第二定律，結合幾何關系，即可求解．

解答：解：（1）設粒子速度大小為υ₀時恰好能進入Ⅱ磁場，則進入Ⅱ磁場時速度恰好沿M邊界，所以半徑為：
r=l₁           
由qυ₀B=m

v 2 0

l1

       
得：υ₀=

qBl1

m

      
（2）粒子在磁場中運動由qυ₁B=m

v 2 1

r1

   
得：r₁=2l₁     
所以，粒子在Ⅰ磁場中作勻速圓周運動對應的圓心角為：α=

π

6

   
第一次穿過Ⅰ磁場的時間為：t₁=

T

l2

=

πm

6B1q

     
（3）設粒子速度為υ時，粒子在磁場B₂中的運動軌跡恰好與P邊界相切，軌跡如圖，
 
由qυB=m

υ2

R

 
得到：R₁=

mv

qB1

     
 R₂=

mv

qB2

      
又sinθ=

l1

R1

=

qB1l1

mv1

    
粒子在B₂中運動時有：R₂-R₂sinθ=l₂    
聯立解得：υ=

qB1l1+qB2l2

m

．
答：（1）要使粒子能穿過磁場區(qū)域Ⅰ進入磁場區(qū)域Ⅱ，粒子的初速度υ₀至少應為υ₀=

qBl1

m

；
（2）若粒子進入磁場區(qū)域Ⅰ的初速度υ₁=

2qB1

m

，則粒子第一次穿過磁場區(qū)域Ⅰ的時間t₁是=

πm

6B1q

；
（3）當粒子初速度υ為

qB1l1+qB2l2

m

時，粒子才能恰好穿過兩個磁場區(qū)域．

點評：考查牛頓第二定律與向心力綜合應用，掌握運動的周期半徑與求解運動的時間的方法，注意畫出正確的運動軌跡與幾何關系的運用．