Question

19．如圖所示，BC為半徑R=2.5m的$\frac{1}{4}$圓弧，AB為光滑水平軌道，兩軌道在B處相切連接；AB軌道上的滑塊P通過不伸長的輕繩與套在豎直光滑細(xì)桿的滑塊Q連接；開始時，P在A處，Q在與A同一水平面上的E處，且繩子剛好伸直處于水平，固定的小滑輪在D處，DE=3m不計滑輪與繩子間的摩擦和空氣阻力，現(xiàn)把Q從靜止釋放，當(dāng)下落h=3m時，P恰好到達(dá)圓弧軌道的B，且對B無壓力．取g=10m/s²．試求：
（1）在P到達(dá)B處時，P的速度大小；
（2）在P到達(dá)B處時，Q的速度大��；
（3）滑塊P、Q的質(zhì)量之比，即$\frac{{m}_{P}}{{m}_{Q}}$=？

Answer 1

分析 （1）P恰好到達(dá)圓弧軌道的B，且對B無壓力，由重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出P到達(dá)B處時的速度；
（2）P到達(dá)B點時，繩子的速度等于P的速度，根據(jù)P、Q沿繩子方向的分速度大小相等，即可求解Q的速度；
（3）P、Q構(gòu)成的系統(tǒng)在運動過程中只有重力做功，根據(jù)動能定理列式即可求解質(zhì)量之比．

解答 解：（1）P恰好到達(dá)圓弧軌道的B處，且對B無壓力，由重力提供向心力，則得：
   m_Pg=m_P$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
解得：v_P=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×2.5}$=5m/s
（2）P到達(dá)B點時，DQ間的繩子與細(xì)桿間的夾角為45°．
根據(jù)P、Q沿繩子方向的分速度大小相等，有：
  v_Q•cos45°=v_P．
解得：v_Q=5$\sqrt{2}$m/s
（3）P、Q在運動過程中只有重力做功，對系統(tǒng)，根據(jù)動能定理得：
   $\frac{1}{2}$m_Pv_P²+$\frac{1}{2}$m_Qv_Q²=m_Qgh
代入數(shù)據(jù)有：12.5m_P+25m_Q=30m_Q
解得：$\frac{{m}_{P}}{{m}_{Q}}$=$\frac{2}{5}$
答：
（1）在P到達(dá)B處時，P的速度大小為5m/s；
（2）在P到達(dá)B處時，Q的速度大小為5$\sqrt{2}$m/s；
（3）滑塊P、Q的質(zhì)量之比為2：5．

點評 本題主要考查了向心力公式、動能定理的直接應(yīng)用，關(guān)鍵是明確Q、P速度關(guān)系，知道P、Q沿繩子方向的分速度大小相等．