Question

某科學研究完成了下面的兩個實驗：
（1）當飛船停留在距X星球一定高度的P點時正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經過時間t₁后收到返回來的信號，此時觀察X星球的視角為θ，如圖所示．
（2）當飛船在X星球表面著陸后，把一個彈射器固定在星球的表面上，豎直向上彈射一個小球，經測定小球從彈射到落回的時間為t₂．已知用上述彈射器在地球上做同樣的實驗時，小球在空中運動的時間為t，又已知地球表面的重力加速度為g，萬有引力常量G，光速為c，地球和X星球的自轉以及它們對物體的大氣阻力均可不計，試根據以上信息，求：
①X星球的半徑R；
②X星球的平均密度ρ
③X星球的第一宇宙速度V；
④在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T．

Answer 1

分析：①先計算P點到星球表面的最短距離為

1

2

ct1，根據直角三角形的知識可得

R

(R+ 1 2 ct1)

=sin

θ

2

，化簡即可解得X星球的半徑R．
②根據在X星球上以v₀初速度豎直上拋和在地球上以v₀初速度豎直上拋時的特點，可計算出該星球的表面重力加速度g₀．由在星球表面上的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R2

=mg0，解得該星球的質量M=

R2g0

G

，而該星球的體積為V=

4

3

πR3，根據密度的定義ρ=

M

V

，代入數據計算即可．
③第一宇宙速度就是貼近星球表面飛行時的線速度，根據重力提供向心力mg0=m

v2

R

，得v=

Rg0

，代入數據化簡即可解得v．
④當以第一宇宙速度v運行，衛(wèi)星有最小周期T，根據公式T=

2πR

v

化簡即可．

解答：解：①飛船停留在距X星球一定高度的P點時正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經過時間t₁后收到返回來的信號，則P點到星球表面的最短距離為：

1

2

ct1．
根據幾何圖形，由直角三角形的知識可得

R

(R+ 1 2 ct1)

=sin

θ

2

即：(R+

1

2

ct1)sin

θ

2

=R
解得：R=

ct1sin θ 2

2(1-sin θ 2 )

②根據豎直上拋的特點：
在X星球上以v₀初速度豎直上拋時，t2=

2v0

g0

在地球上以v₀初速度豎直上拋時，t=

2v0

g

∴g0=

t

t2

g，
又由在星球表面上的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R2

=mg0
所以M=

R2g0

G

，
而該星球的體積為V=

4

3

πR3
故ρ=

M

V

=

3g0

4πGR

=

3tg(1-sin θ 2 )

2πGct1t2sin θ 2

③第一宇宙速度就是貼近星球表面飛行時的線速度，此時重力等于萬有引力，
根據萬有引力提供向心力mg0=m

v2

R

∴v=

Rg0

把R和g0=

t

t2

g的值代入得：
v=

gctt1sin θ 2 2t2(1-sin θ 2 )

④當以第一宇宙速度v運行，衛(wèi)星有最小周期T
T=

2πR

v

=π

2ct1t2sin θ 2 gt(1-sin θ 2 )

答：①X星球的半徑R為

ct1sin θ 2

2(1-sin θ 2 )

；
②X星球的平均密度ρ為

3tg(1-sin θ 2 )

2πGct1t2sin θ 2

③X星球的第一宇宙速度V為

gctt1sin θ 2 2t2(1-sin θ 2 )

；
④在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T為π

2ct1t2sin θ 2 gt(1-sin θ 2 )

．

點評：重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．本題要求學生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由萬有引力提供．