Question

2．如圖所示，豎直放置的平行導軌由四部分組成，其中只有水平部分是導體材料做的，其余部分均為絕緣材料，整個軌道處在豎直向上的勻強磁場中（磁場未畫出）．ab、a'b'是四分之一光滑圓弧形軌道，下端切線水平；bc、b'c'是拋物線軌道，cd、c'd'是傾斜軌道，de、d'e'是光滑水平軌道（足夠長）．傾斜軌道與水平軌道平滑連接．金屬棒過dd'前后的速度大小不變，金屬桿M₁N₁從靜止開始沿軌道頂端aa'下滑，與拋物線軌道恰好無相互作用力并且恰好沿著傾斜軌道勻速滑下，之后進入水平軌道（0水平軌道上原來放有一根金屬桿M₂N₂），在運動過程中兩桿始終與導軌垂直并接觸良好．已知圓弧半徑為R=0.2m，M₁N₁的質量為m=1kg，M₂N₂的質量為2m，cd、c'd'傾斜軌道傾角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6），cd、c'd'傾斜軌道長度s=0.5m，取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）金屬桿M₁N₁在bc、b'c'拋物線軌道上運動的時間t₁；
（2）金屬棒M₁N₁和M₂N₂的最終速度是多大？
（3）整個過程中損失的機械能△E是多少？

Answer 1

分析 （1）棒M₁N₁在ab之間運動的過程中機械能守恒，由此求出到達b的速度；然后將運動分解即可求出；
（2）將c點的速度分解，即可求出棒M₁N₁到達c的速度；由動量守恒即可求出棒M₁N₁最終的速度；
（3）整個過程中損失的機械能為摩擦產生的內能以及電磁感應的過程中產生的內能，由此即可求出．

解答 解：（1）棒M₁N₁在ab之間運動的過程中機械能守恒，得：$mgR=\frac{1}{2}mv_0^2$   ①，
解得${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.2}=2m/s$   ②，
設棒M₁N₁平拋運動的時間為t₁，則豎直方向：v_y=gt₁ ③
根據題意，在c點：v_y=v₀tanθ    ④
由②③④，代入數(shù)據得：t₁=$\frac{4}{15}$s  ⑤
（2）棒M₁N₁到達c的速度：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{2}{\frac{3}{5}}=\frac{10}{3}m/s$  ⑥，
金屬棒M₁N₁進入水平軌道后，由于軌道是金屬導軌，兩個金屬棒與軌道組成閉合回路，在電路中產生感應電動勢，金屬棒M₁N₁和M₂N₂的ab系統(tǒng)水平方向的動量守恒，設向右為正方向，有：
mv₁=（m+2m）v₂ ⑦，
由②⑥⑦解得：${v}_{2}=\frac{1}{3}{v}_{1}=\frac{10}{9}m/s$
（3）金屬棒M₁N₁在斜面上運動的過程中，摩擦生熱：Q₁=μmgs₀cosθ   ⑧
由于做勻速直線運動，則：μmgcosθ=mgsinθ  ⑨
聯(lián)立得Q₁=mgs₀sinθ
代入數(shù)據得：Q₁=4.0J
金屬棒M₁N₁和M₂N₂相互作用的過程中產生的電熱：${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}（m+2m）{v}_{2}^{2}$，
代入數(shù)據得：Q₂=3.7J
所以：E=Q₁+Q₂=4.0J+3.7J=7.7J
答：（1）金屬桿M₁N₁在bc、b'c'拋物線軌道上運動的時間是$\frac{4}{15}$s；
（2）金屬棒M₁N₁和M₂N₂的最終速度是$\frac{10}{9}$m/s；
（3）整個過程中損失的機械能△E是7.7J．

點評 該題屬于力、電綜合，解答該題的思路要注意考慮兩點：一是從力的角度，可以根據平拋運動、動量守恒定律，或根據平衡條件、牛頓第二定律列出方程；二是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解．