Question

3．如圖所示，水平傳送帶右側通過一光滑水平面與一光滑的曲面相接，左側仍與光滑水平面相接，在左側用一長為L=1m的細線吊一質量為m₂=1kg的物塊B，靜止且剛好要與水平面接觸，物塊看成質點，傳送帶始終以v=2m/s的速率逆時針轉動．質量為m₁=1kg的小物塊A從曲面上距水平臺面h=0.8m處由靜止釋放．已知物塊A與傳送帶之間的摩擦因數(shù)μ=0.2，傳送帶的長為1m．A滑過傳送帶后與小球B發(fā)生碰撞，并粘在一起，取g=10m/s²．
（1）物塊A滑過傳送帶所用的時間；
（2）物塊A與小球B相碰后的一瞬間繩的張力；
（3）若A和B一起向右擺到最低點時，兩者分離，此后物塊B在最低點與物塊A恰好又能相向發(fā)生第二次碰撞，求碰撞過程產(chǎn)生的內能．

Answer 1

分析 （1）物塊從高h處下滑到底端時由機械能守恒求出到達傳送帶時的速度，當滑上傳送帶時將做減速運動，由位移速度公式求出物塊A剛滑過傳送帶時的速度，然后由速度公式即可求出時間；
（2）A與B碰撞的過程滿足動量守恒定律，由此求出碰撞后的速度，然后由牛頓第二定律即可求出繩子的拉力；
（3）若A和B一起向右擺到最低點時，兩者分離，A與B分離后二者的速度與剛碰撞結束時的速度相等．A再次在傳送帶上運動時，要先判斷出A是否能夠向右滑過傳送帶，然后求出A返回時的速度．A再次與B碰撞的過程中仍然滿足動量守恒定律，由此求出碰撞后的速度，最后由功能關系求出碰撞過程產(chǎn)生的內能．

解答 解：（1）由A到B的過程中由機械能守恒可知：${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}m/s=4$m/s
物塊A的速度大于傳送帶的速度，所以滑塊滑上傳送帶后做減速運動由牛頓第二定律可知：
-μmg=ma
解得：a=-μg=-0.2×10m/s²=-2m/s²
物塊A滑過傳送帶后的速度為v₂，則：
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=2ax$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{2}=2\sqrt{3}$m/s＞2m/s，物塊一直做勻減速運動，
所以，滑過傳送帶的時間：$t=\frac{△v}{a}=\frac{2\sqrt{3}-4}{-2}=2-\sqrt{3}$（s）
（2）選取A與B組成的系統(tǒng)為研究的對象，A與B碰撞的過程滿足動量守恒定律，取向左的方向為正方向，則碰撞后的速度v：
m₁v₂+0=（m₁+m₂）v
所以：$v=\frac{{m}_{1}{v}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}=\frac{1×2\sqrt{3}}{1+1}m/s=\sqrt{3}$m/s
A與小球B發(fā)生碰撞后粘在一起，由繩子的拉力與它們的重力的合力提供向心加速度，得：
$F-（{m}_{1}+{m}_{2}）g=（{m}_{1}+{m}_{2}）\frac{{v}^{2}}{L}$
代入數(shù)據(jù)解得：F=26N
（3）碰撞后A與B一起運動，受到重力與繩子的拉力，機械能始終守恒，所以若A和B一起向右擺到最低點時，兩者分離，則分離時二者的速度大小都是$\sqrt{3}$m/s，方向向右．
滑塊滑上傳送帶后受到的摩擦力的方向向左，滑塊做減速運動．
由牛頓第二定律可知：
μmg=ma′
解得：a′=μg=0.2×10m/s²=2m/s²
當速度v₃=0時到達向右的最大位移為x₁
則：${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}=-2ax$
解得：${x}_{1}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a′}=\frac{（\sqrt{3}）^{2}}{2×2}=\frac{3}{4}m＜1m$
故物體A不能到達傳送帶的最右端，之后，滑塊將以加速度a向左做勻加速直線運動，由運動的對稱性可知，A到達傳送帶的最左端時的速度大小仍然是$\sqrt{3}$m/s，所以此后物塊B在最低點與物塊A恰好又能相向發(fā)生第二次碰撞的時候A與B的速度的大小都是$\sqrt{3}$m/s，設它們碰撞后的速度為v₄，以向左方向為正方向，則：
m₁v-m₂v=（m₁+m₂）v₄
所以：v₄=0
碰撞產(chǎn)生的內能等于碰撞前A與B共同的動能，所以：
$△E=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：△E=3J
答：（1）物塊A滑過傳送帶所用的時間是（2-$\sqrt{3}$）s；
（2）物塊A與小球B相碰后的一瞬間繩的張力是26N；
（3）碰撞過程產(chǎn)生的內能是3J．

點評 本題的難點是分析物塊在傳送帶上運動情況，要判斷出滑塊是否能夠滑過傳送帶．運用牛頓第二定律和運動學公式結合，通過計算進行分析．