Question

13．如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于點(diǎn)O，二者夾角θ=30°，在MO左側(cè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MO右側(cè)某個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)處在磁場(chǎng)的邊界上，現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v（0≤v≤$\frac{E}{B}$）垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，所有粒子通過(guò)直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向左，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子自O(shè)點(diǎn)射入磁場(chǎng)至返回水平線POQ所用的時(shí)間；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；
（3）求出粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T，先求出粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后應(yīng)做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，根據(jù)幾何關(guān)系及速度時(shí)間公式求出時(shí)間，過(guò)MO后粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式求出此過(guò)程中的時(shí)間，三段時(shí)間之和即為總時(shí)間；
（2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過(guò)OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積．
（3）分三段求PO間的距離，圓周運(yùn)動(dòng)部分、勻速運(yùn)動(dòng)部分和類平拋運(yùn)動(dòng)部分．

解答 解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，

由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$，t₁=$\frac{1}{3}$T，
設(shè)粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后應(yīng)做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，
設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的距離為s，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
由幾何關(guān)系知：s=$\frac{R}{tanθ}$，t₂=$\frac{s}{v}$，
過(guò)MO后粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，
則：$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₃²，由題意可知：v=$\frac{E}{B}$，
則速度最大的粒子自O(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)至重回水平線POQ所用的時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
 （2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過(guò)OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，
故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積，
扇形OO′N的面積的面積S=$\frac{1}{3}$πR²，
△OO′N的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
△S=S-S′，解得：△S=$\frac{（4π-3\sqrt{3}）{m}^{2}{E}^{2}}{12{q}^{2}{B}^{4}}$；
（3）粒子以最大速度進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在PQ上落點(diǎn)離O最遠(yuǎn)，粒子經(jīng)歷了三段運(yùn)動(dòng)過(guò)程：
在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出磁場(chǎng)位置在O點(diǎn)左側(cè)x₁處，x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
出磁場(chǎng)后進(jìn)電場(chǎng)前勻速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粒子位移x₂，x₂=$\sqrt{3}$R，
在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粒子沿PQ方向位移x₃，x₃=vt₃=$\sqrt{3}$R，
粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離d=$\frac{5\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}$．
（由分析知，最遠(yuǎn)距離分三段求，圓周運(yùn)動(dòng)部分，勻速運(yùn)動(dòng)部分和類平拋運(yùn)動(dòng)部分）
答：（1）速度最大的粒子從O開(kāi)始射入磁場(chǎng)至返回水平線POQ所用的時(shí)間為$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為：$\frac{（4π-3\sqrt{3}）{m}^{2}{E}^{2}}{12{q}^{2}{B}^{4}}$；
（3）粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離大小為$\frac{5\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析．