Question

18．如圖所示，單匝正方形金屬線框abcd一半處于磁感應強度為B=2T的水平有界勻強磁場中（圖中虛線OO′的左側有垂直于紙面向里的磁場）．線框在外力作用下恰好繞與其中心線重合的豎直固定轉軸OO′以角速度ω=100rad/s勻速轉動．線圈在轉動過程中在ab、cd邊的中點P、Q連接右側電路將電流輸送給小燈泡．線圈邊長L=50cm，總電阻r=8Ω，燈泡電阻R=4Ω，不計P、Q的接觸電阻及導線電阻．求：

（1）從圖示位置開始計時，線圈轉過90°的過程中穿過線圈的磁通量的變化量；
（2）在線圈持續(xù)轉動過程中電壓表的示數；
（3）把小燈泡換成如圖乙所示的裝置，平行金屬板的上下極板分別接入電路，極板長為l，板間距為d，距離極板右端為D的位置安放一豎直擋板，已知l=d=D=2cm，從金屬板正中間可以連續(xù)不斷地射入速度為v₀=2×10⁶m/s的電子，電子的比荷為1.76×10¹¹C/kg，忽略電子的重力，電子通過極板的時間極短，可認為此過程中極板間電壓不變．求多長的擋板能擋住從極板右端射出的所有電子．

Answer 1

分析 （1）根據∅=BScosθ求得初末位置的磁通量，即可求得磁通量的變化量；
（2）線框只有一條邊切割產生感應電動勢，求得產生的感應電動勢的最大值，根據閉合電路的歐姆定律求得電壓；
（3）電子在平行板中做加速偏轉，根據類平拋運動求得偏轉量，射出后座勻速運動，根據三角形相似求得豎直偏轉量即可求得；

解答 解：（1）由題意可知${∅}_{1}=\frac{B{L}^{2}}{2}=0.25Wb$，∅₂=0
所以在線框有圖示位置轉過90°的過程中穿過線圈的磁通量的變化量△∅=∅₂-∅₁=-0.25Wb
（2）線框在轉動過程中，abcd始終只有一個邊在切割磁感線產生電動勢，在磁場外的一半線框與燈泡并聯構成外電路，PQ兩點始終是Q點電勢高，經過燈泡的電流方向會變，大小隨時間成正弦規(guī)律變化，電壓表為燈泡兩端的有效值
產生的感應電動勢的最大值為${E}_{m}=\frac{1}{2}B{L}^{2}ω$
有效值$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$
$I=\frac{E}{{R}_{外}+{R}_{內}}$
${R}_{外}=\frac{R•\frac{r}{2}}{R+\frac{r}{2}}=2Ω$，R_內=4Ω
電壓表的示數U=IR=$\frac{25\sqrt{2}}{6}V$
（3）換成平行放置的金屬板后，${U}_{m}=\frac{1}{2}{E}_{m}=12.5V$
設如果兩板間最大電壓時電子可以從極板射出
電子在極板中的加速度a=$\frac{eU}{md}$
電子在極板間飛行時間t=$\frac{l}{{v}_{0}}$
最大偏移量y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=0.55cm$
有幾何關系可得$\frac{y}{\frac{l}{2}}=\frac{Y}{\frac{l}{2}+D}$
可得當班所需長度Y=1.65cm
答：（1）從圖示位置開始計時，線圈轉過90°的過程中穿過線圈的磁通量的變化量為-0.25Wb；
（2）在線圈持續(xù)轉動過程中電壓表的示數為$\frac{25\sqrt{2}}{6}V$；
（3）1.65cm長的擋板能擋住從極板右端射出的所有電子．

點評 本題關鍵是明確粒子的受力情況和運動規(guī)律，然后根據類似平拋運動的分運動公式列式求解，不難．