Question

9．某物理興趣小組舉行遙控賽車比賽，比賽路徑如圖所示．賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為r的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，并能越過以D點(diǎn)為圓心半徑為R的壕溝．已知賽車質(zhì)量m=0.2kg，通電后以額定功率P=1.5w工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不計(jì)．圖中AB間距L=10.00m，r=0.18m，R=4m，θ=60°．問：
（1）要使賽車能夠通過弧形壕溝，則賽車過D點(diǎn)時(shí)速度至少多少？
（2）要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作多長(zhǎng)時(shí)間？（取g=l0m/s²）
（3）若賽車剛好能過小圓軌道最高點(diǎn)，求賽車經(jīng)過D點(diǎn)后第一次落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解；
（2）對(duì)賽車從A到D應(yīng)用動(dòng)能定理，根據(jù)（1）中D點(diǎn)的速度求得時(shí)間；再根據(jù)賽車能通過C點(diǎn)，對(duì)賽車在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求得速度，然后對(duì)A到C應(yīng)用動(dòng)能定理求得時(shí)間，然后取兩時(shí)間中較大的那個(gè)最小值；
（3）根據(jù)賽車剛好能過小圓軌道最高點(diǎn)，應(yīng)用牛頓第二定律求得在C點(diǎn)的速度，然后應(yīng)用動(dòng)能定理求得在D點(diǎn)的速度，即可根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解．

解答 解：（1）小球離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，那么，要使賽車能夠通過弧形壕溝，豎直位移為h=Rcosθ，所以，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2Rcos60°}{g}}=\sqrt{0.4}s$；
又有平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x≥Rsinθ，所以，賽車過D點(diǎn)時(shí)速度為：
${v}_{D}=\frac{x}{t}≥\frac{Rsinθ}{t}=\sqrt{30}m/d≈5.48m/s$；
（2）要使賽車完成比賽，那么賽車必能通過C點(diǎn)和D點(diǎn)，且在D點(diǎn)的速度為：${v}_{D}≥\sqrt{30}m/s$；
又有賽車運(yùn)動(dòng)過程，只有牽引力、阻力和重力作用，那么對(duì)賽車從A到D運(yùn)用動(dòng)能定理可得：$Pt-fL=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$
所以有：$t=\frac{fL+\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}}{P}≥4s$；
賽車要能通過C點(diǎn)，那么對(duì)賽車在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{r}≥mg$
那么由賽車只受牽引力、阻力和重力作用，對(duì)賽車從A到C應(yīng)用動(dòng)能定理可得：
$Pt′-fL-2mgr=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：$t′=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgr+fL}{P}≥\frac{\frac{5}{2}mgr+fL}{P}=2.6s$；
故要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作4s；
（3）若賽車剛好能過小圓軌道最高點(diǎn)，則對(duì)賽車在C點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{v}_{C}{′}^{2}}{r}$；
那么，由賽車從C到D只有重力做功可，應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}+2mgr=\frac{5}{2}mgr$
解得：${v}_{D}′=\sqrt{5gr}=3m/s$；
那么由賽車經(jīng)過D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，v_D′＜v_D，故賽車落在圓弧上；
由平拋運(yùn)動(dòng)位移公式可得：x=v_D′t₁，$y=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
又有：x²+y²=R²；
解得：t₁=0.8s；
所以，賽車經(jīng)過D點(diǎn)后第一次落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離為：
x=v_D′t₁=2.4m；
答：（1）要使賽車能夠通過弧形壕溝，則賽車過D點(diǎn)時(shí)速度至少為5.48m/s；
（2）要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作4s；（取g=l0m/s²）
（3）若賽車剛好能過小圓軌道最高點(diǎn)，則賽車經(jīng)過D點(diǎn)后第一次落地點(diǎn)與D點(diǎn)的水平距離為2.4m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題，一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析求得合外力，然后根據(jù)幾何關(guān)系及牛頓第二定律得到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；分析做功情況，即可由動(dòng)能定理、能量守恒解決相關(guān)問題．