Question

5．如圖所示，光滑平行金屬導軌MN、PQ足夠長，兩導軌間距為L，導軌平面的傾角為θ，導軌N、Q端連有阻值為R的定值電阻，整個裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面向下，質量為m、阻值也為R的金屬桿ab垂直放在導軌上，軌道的電阻不計，將桿ab由靜止釋放．
（1）求桿ab下滑的最大速度；
（2）若桿下滑x₁的距離達到最大速度，求下滑到最大速度時，通過電阻R的電量是多少？
（3）若將桿以與（1）問中的最大速度等大的初速度從軌道的最底端向上滑去，當桿再回到軌道最底端時，回路中產生的焦耳熱為Q，則桿再回到軌道最低端時的速度多大？

Answer 1

分析 （1）桿ab先加速下滑后勻速下滑，勻速運動時速度最大．由E=BLv、歐姆定律求出安培力與速度的關系式，再由平衡條件求出導體桿ab的最大速度．
（2）根據電量與電流的關系q=It、歐姆定律和運動學公式結合求電量．
（3）根據能量守恒定律求桿再回到軌道最低端時的速度．

解答 解：（1）設桿ab下滑的最大速度為v．
桿勻速運動時速度最大，此時ab產生的感應電動勢為：E=BLv
感應電流為：I=$\frac{E}{2R}$
ab所受的安培力為 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
由平衡條件得：mgsinθ=F
聯立解得  v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）下滑到最大速度時，通過電阻R的電量 q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{2R}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{2R}$=$\frac{BL{x}_{1}}{2R}$
（3）設桿再回到軌道最低端時的速度大小為v′．
對整個過程，由能量守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=Q+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
聯立解得 v′=$\sqrt{\frac{4{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2Q}{m}}$
答：
（1）桿ab下滑的最大速度是$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）下滑到最大速度時，通過電阻R的電量是$\frac{BL{x}_{1}}{2R}$．
（3）桿再回到軌道最低端時的速度是$\sqrt{\frac{4{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2Q}{m}}$．

點評 解決本題的關鍵有二：一要正確分析桿ab的運動情況，推導出安培力與速度的關系式．二是正確判斷能量是如何轉化，運用能量守恒定律求熱量．