Question

8．垂直紙面向外的勻強磁場中有Oa、Ob和dc三根光滑金屬桿，Oa和Ob互相垂直且無縫對接，Oa豎直，Ob水平，兩根金屬桿的材料相同，單位長度電阻為r，dc桿電阻不計，分別與Oa的M點和Ob的N點接觸，和Oa、Ob的夾角均為45°，MN=$\sqrt{2}$L．
（1）若cd以垂直與MN的速度v₀斜向下勻速運動，求t秒時cd受到的安培力；
（2）M點固定在Oa上不動，cd與Ob的交點N以水平速度v₁沿Ob勻速運動，求t秒時的電流；
（3）在（1）問的基礎上，已知桿的質量為m，重力加速度g，則求t時刻外力F的瞬時功率．

Answer 1

分析 （1）求出金屬桿的有效切割長度，根據(jù)法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由歐姆定律求出感應電流，由安培力公式求出安培力大�。�
（2）求出金屬桿轉動的感應電動勢，求出回路總電阻，根據(jù)歐姆定律求出電流；
（3）根據(jù)能量守恒求外力F的功率；

解答 解：（1）安培力F_安=BIL₁…①
感應電流$I=\frac{E}{R}$…②
感應電動勢E=BL₁v₀…③
t秒時MN距離：${L}_{1}=\sqrt{2}（L+\sqrt{2}{v}_{0}t）$…④
回路電阻$R=2r{L}_{1}^{\;}=2r（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）$…⑤
解得：F_安=$\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}$…⑥
（2）感應電流$I′=\frac{E′}{R}$…⑦
 感應電動勢 $E′=BL\overline{v}$…⑧
 MN長度 $L′=\frac{L}{cosθ}$…⑨
 平均速度 $\overline{v}=\frac{0+{v}_{1}}{2}$…⑩
垂直MN的分速度${v}_{⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cosθ$…⑪
回路電阻$R=r（2L+{v}_{1}^{\;}t）$…⑫
解得：$I′=\frac{BL{v}_{1}^{\;}}{2r（2L+{v}_{1}^{\;}t）}$…⑬
（3）根據(jù)能量守恒有${P}_{F安}^{\;}={P}_{F}^{\;}+{P}_{G}^{\;}$…⑭
安培力功率${P}_{F安}^{\;}={F}_{安}^{\;}{v}_{0}^{\;}$…⑮
重力的功率${P}_{G}^{\;}=mg{v}_{0}^{\;}cos45°$…⑯
外力F的瞬時功率${P}_{F}^{\;}=\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{0}^{\;}}{2}$…⑰
答：（1）若cd以垂直與MN的速度v₀斜向下勻速運動，t秒時cd受到的安培力$\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}$；
（2）M點固定在Oa上不動，cd與Ob的交點N以水平速度v₁沿Ob勻速運動，t秒時的電流$\frac{BL{v}_{1}^{\;}}{2r（2L+{v}_{1}^{\;}t）}$；
（3）在（1）問的基礎上，已知桿的質量為m，重力加速度g，則t時刻外力F的瞬時功率$\frac{{B}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}t）}{r}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{0}^{\;}}{2}$．

點評 本題運用法拉第電磁感應定律E=BLv時，要注意L是有效的切割長度，并不就是cd棒的長度．掌握電磁感應的基本規(guī)律：法拉第定律、歐姆定律、右手定則等等是解答本題的基礎．