Question

10．如圖所示，傾斜放置的粗糙直導(dǎo)軌與半徑為R的光滑圓環(huán)軌道相切于B點(diǎn)，整個(gè)軌道處于豎直平面內(nèi)．一質(zhì)量為m的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從導(dǎo)軌上離地面高為h=4R的D處無(wú)初速度下滑進(jìn)入圓環(huán)軌道．接著小滑塊從圓環(huán)軌道最高點(diǎn)C水平飛出，恰好擊中導(dǎo)軌上與圓心O等高的P點(diǎn)，已知OP間距離為2R（不計(jì)空氣阻力）．求：
（1）滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最高點(diǎn)C時(shí)速度的大小；
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)圓環(huán)軌道壓力的大��；
（3）滑塊與傾斜直導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)．（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 對(duì)滑塊進(jìn)行運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，要求滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)軌道壓力的大小，我們要知道滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小，小滑塊從圓環(huán)最高點(diǎn)C水平飛出，恰好擊中導(dǎo)軌上與圓心O等高的P點(diǎn)，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何關(guān)系求出最低點(diǎn)時(shí)速度．在對(duì)最低點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律求解．
從D到最低點(diǎn)過(guò)程中，再次運(yùn)用動(dòng)能定理求解μ．

解答 解：（1）小滑塊從C點(diǎn)飛出來(lái)做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平速度為v₀．
豎直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向：2R=v₀t
聯(lián)立以上兩式得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$
（2）設(shè)小滑塊在最低點(diǎn)時(shí)速度為v
從A到C由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mg2R$
解得：v=$\sqrt{6gR}$
在軌道最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=7mg
由牛頓第三定律得滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)圓環(huán)軌道壓力的大小：F_N′=7mg
（3）小滑塊從D到最低點(diǎn)A的過(guò)程由動(dòng)能定理得：mgh-μmgLcosθ=$\frac{1}{2}$mv²
設(shè)∠OPB=θ，由sinθ=$\frac{OB}{OP}$=$\frac{1}{2}$，得θ=30°，設(shè)DB之間長(zhǎng)度為L(zhǎng)_DB，
L_DB=$\frac{h-R（1-cosθ）}{sinθ}$
解得：L_DB=（6+$\sqrt{3}$）R
代入動(dòng)能定理的關(guān)系式得：μ=$\frac{2}{6\sqrt{3}+3}$（或$\frac{4\sqrt{3}-2}{33}$或0.15）
答：（1）滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最高點(diǎn)C時(shí)速度的大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)圓環(huán)軌道壓力的大小為7mg；
（3）滑塊與傾斜直導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{2}{6\sqrt{3}+3}$（或$\frac{4\sqrt{3}-2}{33}$或0.15）．

點(diǎn)評(píng) 該題的突破口是小滑塊從圓環(huán)最高點(diǎn)C水平飛出，恰好擊中導(dǎo)軌上與圓心O等高的P點(diǎn)，運(yùn)用平拋規(guī)律和幾何關(guān)系求出初速度．下面就是一步一步運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓第二定律解決問題．
我們?cè)谧x題時(shí)要抓住題目的一些關(guān)鍵語(yǔ)言，這可能就是突破口．