Question

5．如圖，有一個(gè)足夠長(zhǎng)豎直固定在地面的透氣圓筒，筒中有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其下端固定，上端連接一質(zhì)量為m的薄滑塊，圓筒內(nèi)壁涂有一層新型智能材料--ER流體，它對(duì)滑塊的阻力可調(diào)節(jié)．開(kāi)始滑塊靜止，ER流體對(duì)其阻力為0，彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量也為m的物體從距地面2L處自由落下，與滑塊碰撞后粘在一起向下運(yùn)動(dòng)．為使滑塊恰好做勻減速運(yùn)動(dòng)，且下移距離為$\frac{2mg}{k}$時(shí)速度減為0，ER流體對(duì)滑塊的阻力必須隨滑塊下移而適當(dāng)變化，忽略空氣阻力，以滑塊初始高度處為原點(diǎn)，向下為正方向建立Ox軸．
（1）求ER流體對(duì)滑塊的阻力隨位置坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系式及題中L要滿足的條件；
（2）滑塊速度第一次減為0瞬間，通過(guò)調(diào)節(jié)，使以后ER流體對(duì)運(yùn)動(dòng)的滑塊阻力大小恒為λmg，若此后滑塊向上運(yùn)動(dòng)一段距離后停止運(yùn)動(dòng)不再下降，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）物體下落過(guò)程，由機(jī)械能守恒求得物體下落的末速度．由動(dòng)量守恒定律求物體與滑塊碰撞后的共同速度．由于碰后滑塊恰好做勻減速運(yùn)動(dòng)，合外力一定，根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律列式，可求得阻力隨位置坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系式．再由數(shù)學(xué)知識(shí)求L要滿足的條件；
（2）分滑塊能向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)，滑塊停止運(yùn)動(dòng)的條件列式求λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)滑塊靜止時(shí)彈簧壓縮量為x₀，則 kx₀=mg …①
設(shè)物體下落末速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得
   mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  …②
設(shè)碰后共同速度為v₁，取向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律
  mv₀=（m+m）v₁ …③
滑塊下移距離為 x_m=$\frac{2mg}{k}$時(shí)  ${v}_{1}^{2}=2a{x}_{m}$ …④
由牛頓第二定律得 k（x+x₀）+f-2mg=2ma …⑤
解得 f=-kx+mg+$\frac{kL}{4}$
當(dāng) x_m=$\frac{2mg}{k}$時(shí)  f_m=-mg+$\frac{kL}{4}$≥0，得 L≥$\frac{4mg}{k}$
（2）（i）滑塊能向上運(yùn)動(dòng)，則 k（x_m+x₀）＞2mg+λmg …⑥
得 λ＜1
（ii）當(dāng)滑塊向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若規(guī)定向上為滑塊和物體所受合力的正方向，則合力
   F=k（x+x₀）-2mg-λmg=kx-（1+λ）mg …⑦
作出F-x圖：

由數(shù)學(xué)知識(shí)得滑塊停止運(yùn)動(dòng)的位置坐標(biāo) x₁=$\frac{2λmg}{k}$
滑塊停止運(yùn)動(dòng)不再下降的條件是  2mg-k（x₁+x₀）≤λmg …⑧
得 λ≥$\frac{1}{3}$
綜上所述，$\frac{1}{3}$≤λ＜1
答：
（1）ER流體對(duì)滑塊的阻力隨位置坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系式為f=-kx+mg+$\frac{kL}{4}$，題中L要滿足的條件為L(zhǎng)≥$\frac{4mg}{k}$．
（2）λ的取值范圍為$\frac{1}{3}$≤λ＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要是分析清楚物體和滑塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，挖掘隱含的臨界狀態(tài)和臨界條件，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律等知識(shí)進(jìn)行研究．