Question

（2011?合肥模擬）如圖所示，在傾角θ=37°的斜面上放置一個(gè)凹槽，槽與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

3

8

，槽與斜面間的最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，槽兩端側(cè)壁A，B 問(wèn)的距離d=0.24m．把一小球放在槽內(nèi)中點(diǎn)處，球和槽的質(zhì)量相等，現(xiàn)同時(shí)由靜止釋放球和槽，不計(jì)球與槽之間的摩擦，斜面足夠長(zhǎng)，且球與槽的側(cè)壁發(fā)生碰撞時(shí)碰撞時(shí)間極短，系統(tǒng)不損失機(jī)械能．取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
（1）釋放球和槽后，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間球與槽的側(cè)壁發(fā)生第一次碰撞？
（2）第一次碰撞后的瞬間，球和槽的速度各多大？
（3）球與槽的側(cè)壁第一次碰撞后再經(jīng)多少時(shí)間發(fā)生第二次碰撞？

Answer 1

分析：（1）槽所受的最大靜摩擦力等于重力沿斜面的分力，所以小球釋放后，槽處于靜止，球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移時(shí)間公式求出小球與槽壁第一次發(fā)生碰撞時(shí)所需的時(shí)間．
（2）球和槽發(fā)生碰撞的前后瞬間，動(dòng)量守恒，能量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出槽和小球的速度．
（3）第一次碰撞后，槽做勻速運(yùn)動(dòng)，球做勻加速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，開(kāi)始時(shí)槽的速度大于球的速度，球與A壁的距離越來(lái)越大，速度相等時(shí)，球到側(cè)壁B的距離最大，判斷此時(shí)是否與A壁相碰，若沒(méi)相碰，此后的球與A壁的距離越來(lái)越小，抓住位移相等，求出追及的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)球和槽的質(zhì)量為m，槽與斜面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，有：
f=μ?2mgcosθ=0.6mg
槽所受重力沿斜面的分力：
G₁=mgsinθ=0.6mg
因?yàn)镚₁=f，所以槽受力平衡，釋放后保持靜止．
釋放后，球做勻加速運(yùn)動(dòng)，有：
mgsinθ=ma₁
解得：a1=6m/s2
經(jīng)時(shí)間t₁球與槽的側(cè)壁B發(fā)生第一次碰撞

1

2

d=

1

2

a1t12
得：t₁=0.2s
（2）碰撞前球的速度為：v₁=a₁t₁=1.2m/s
球和槽發(fā)生碰撞前后，動(dòng)量守恒
mv₁=mv₁′+mv₂′
碰撞過(guò)程中不損失機(jī)械能，得

1

2

mv12=

1

2

mv1′2+

1

2

mv2′2
解得第一次碰撞后瞬間球的速度v₁′和槽的速度v₂′分別為：
v₁′=0，v₂′=1.2m/s（方向沿斜面向下）
（3）第一次碰撞后，槽做勻速運(yùn)動(dòng)，球做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)時(shí)間t′球的速度等于槽的速度v₂′，此時(shí)球到側(cè)壁B的距離最大，設(shè)為s：
由v₂′=a₁t′得t′=0.2s
因s=v2′t′-

1

2

v2′t′=

1

2

v2′t′=0.12m＜d
所以此時(shí)球與槽的側(cè)壁A沒(méi)有發(fā)生碰撞，這以后球與側(cè)壁B的距離減小，直到發(fā)生第二次碰撞．設(shè)球與槽的側(cè)壁B第一次碰撞后再經(jīng)t₂發(fā)生第二次碰撞，該過(guò)程中位移相同：
有：v2′t2=

1

2

a1t22
解得：t₂=0.4s．
答：（1）釋放球和槽后，經(jīng)0.2s球與槽的側(cè)壁發(fā)生第一次碰撞．
（2）第一次碰撞后的瞬間，球和槽的速度各為0和1.2m/s．
（3）球與槽的側(cè)壁第一次碰撞后再經(jīng)0.4s發(fā)生第二次碰撞．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清球與槽的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．