Question

18．如圖，A是半徑為R的光滑圓弧軌道的最低點，B、C為可視為質(zhì)點的兩小球，將B放在A點正上方h處，將C放在離A點很近的軌道上，同時由靜止釋放B、C兩球（忽略空氣阻力）．當B球下落到A點時恰好與C球相遇，h的最小值應(yīng)為$\frac{{π}^{2}R}{8}$；將C球向A點移動至原AC弧的中點，再次同時釋放兩球，仍當B球下落到A點時恰好與C球相遇，h的最小值將不變（選填“減小”、“不變”或“增大”）．

Answer 1

分析 C球在光滑圓弧軌道的運動近似于一個單擺模型，計算出到A點的時間；B球做自由落體運動，兩球相遇，則到達A點的時間相等，建立等式求出h的最小值．

解答 解：C球沿光滑圓弧軌道做簡諧運動（由于C放在離A點很近的軌道上，可認為擺角θ＜5°）．此振動與一個擺長為R的單擺振動模型相同，故此等效擺長為R，B球下落到A點時恰好與C球相遇，C球第1次經(jīng)過A點就和B球相遇，時間最短，此時h有最小值
因此C球第1次到達A處的時間為：${t}_{C}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
B球做自由落體運動，下落到A點的時間為${t}_{B}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
兩球相遇有：t_B=t_C
解得h=$\frac{{π}^{2}R}{8}$
將C球向A點移動至原AC弧的中點，C球依然做間諧運動，此振動動與一個擺長為R的單擺振動模型相同，故C球到A點的時間不變
再次同時釋放兩球，仍當B球下落到A點時恰好與C球相遇，h的最小值依然將不變．
故答案為：$\frac{{π}^{2}R}{8}$； 不變

點評 解答本題的關(guān)鍵是掌握單擺的周期公式．將C球的運動等效于一個擺長為R的單擺的運動．