Question

1． 如圖所示，水平地面上固定有表面光滑的長(zhǎng)平臺(tái)AB和長(zhǎng)L=2m、高h(yuǎn)=0.8m的水平桌子PG，有一豎直放置、內(nèi)壁光滑的細(xì)薄鋼管BCDEF分別與平臺(tái)和桌面相切于B點(diǎn)和F點(diǎn)，CDE部分為半徑R=0.4m的$\frac{3}{4}$圓弧，管道最高點(diǎn)D到平臺(tái)AB上表面的距離為H=1.5m，平臺(tái)上的輕質(zhì)彈簧左端固定在A點(diǎn)，現(xiàn)用質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)，且與彈簧不栓接）將彈簧壓縮到P點(diǎn)，釋放后滑塊與彈簧分離并沿平臺(tái)表面進(jìn)入鋼管，從上管口出來(lái)后滑上桌面，最終從桌面右邊緣G點(diǎn)飛離，落地時(shí)速度方向恰與水平地面成θ=45°．已知滑塊到達(dá)$\frac{3}{4}$圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)對(duì)管壁的壓力大小為滑塊自身重力的10倍，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．
（1）滑塊從G點(diǎn)飛出時(shí)的速度v₀；
（2）滑塊與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）滑塊到達(dá)$\frac{3}{4}$圓弧軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)管壁的壓力大小和方向；
（4）求出滑塊在P點(diǎn)時(shí)對(duì)彈簧具有的彈性勢(shì)能的大�。�

Answer 1

分析 （1）滑塊從G點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由下落的高度求出落地時(shí)豎直分速度．根據(jù)滑塊時(shí)的速度方向求出滑塊從G點(diǎn)飛出時(shí)的速度v₀；
（2）根據(jù)滑塊經(jīng)過(guò)E點(diǎn)的受力情況，由牛頓第二定律和向心力公式求出滑塊通過(guò)E點(diǎn)的速度．再對(duì)EG過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）滑塊從D到E的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出滑塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度．在D點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律求滑塊對(duì)管壁的壓力；
（4）滑塊從P點(diǎn)釋放到D點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求彈簧原來(lái)具有的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）滑塊從G點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得滑塊落地時(shí)豎直分速度大小為：v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
滑塊落地時(shí)速度方向恰與水平地面成θ=45°，由幾何關(guān)系可知，滑塊從G點(diǎn)飛出時(shí)的速度為：v₀=v_y=4m/s
（2）滑塊到達(dá)$\frac{3}{4}$圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
據(jù)題有：N=10mg
滑塊從E到G的過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能定理得：-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
聯(lián)立解得：μ=0.5
（3）滑塊從D到E的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s＞$\sqrt{gR}$=2m/s
所以在D點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)滑塊的彈力方向豎直向下
在D點(diǎn)，對(duì)滑塊由牛頓第二定律得：F_N+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：F_N=4N
由牛頓第三定律知，滑塊到達(dá)$\frac{3}{4}$圓弧軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)管壁的壓力大小 F_N′=F_N=4N，方向豎直向上．
（4）對(duì)彈簧和滑塊系統(tǒng)，從P點(diǎn)釋放到滑塊到達(dá)D點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
E_P=mgH+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：E_P=2.5J
答：（1）滑塊從G點(diǎn)飛出時(shí)的速度v₀是4m/s．
（2）滑塊與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.5．
（3）滑塊到達(dá)$\frac{3}{4}$圓弧軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)管壁的壓力大小是4N，方向豎直向上．
（4）求出滑塊在P點(diǎn)時(shí)對(duì)彈簧具有的彈性勢(shì)能的大小是2.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要滑塊的運(yùn)動(dòng)情況，明確滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分階段研究．對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，要知道向心力來(lái)源于指向圓心的合力，運(yùn)用牛頓第二定律可研究某個(gè)狀態(tài)，而兩個(gè)狀態(tài)之間的關(guān)系可根據(jù)機(jī)械能守恒定律研究．