Question

4．如圖所示，空間某平面內(nèi)有一條折線(xiàn)是磁場(chǎng)的分界線(xiàn)，在折線(xiàn)的兩側(cè)分布著方向相反、與平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．折線(xiàn)的頂角∠A=90°，P、Q是折線(xiàn)上的兩點(diǎn)，AP=AQ=L．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿PQ方向射出，不計(jì)微粒的重力．
（1）為使微粒從P點(diǎn)射出后，途經(jīng)折線(xiàn)的頂點(diǎn)A而到達(dá)Q點(diǎn)，求初速度v應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？
（2）求第（1）問(wèn)中微粒從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解；
（2）畫(huà)出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡，由n取奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況下，結(jié)合圓心角，從而求出時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，微粒能從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，應(yīng)滿(mǎn)足 L=nx，n是整數(shù)．
其中x為每次偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$．①
設(shè)圓弧的半徑為R，則有2R²=x²，可得：R=$\frac{L}{\sqrt{2}n}$    ②
又qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，③
由①②③式得：v=$\frac{qBL}{\sqrt{2}mn}$，n=1、2、3、…
（2）當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，微粒從P到Q過(guò)程中圓心角的總和為：θ₁=n$•\frac{π}{2}$+n$•\frac{3π}{2}$=2nπ，
 t₁=2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n，其中n=1、3、5、…
當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，微粒從P到Q過(guò)程中圓心角的總和為 θ₂=n$•\frac{π}{2}$+n$•\frac{π}{2}$=nπ
 t₂=nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n，其中n=2、4、6、…
答：
（1）為使微粒從P點(diǎn)射出后，途經(jīng)折線(xiàn)的頂點(diǎn)A而到達(dá)Q點(diǎn)，初速度v應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：v=$\frac{qBL}{\sqrt{2}mn}$，n=1、2、3、…．
（2）第（1）問(wèn)中微粒從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)所用的時(shí)間為：當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，微粒從P到Q過(guò)程的時(shí)間為2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n，其中n=1、3、5、…
當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，微粒從P到Q過(guò)程中的時(shí)間為nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n，其中n=2、4、6、…．

點(diǎn)評(píng) 考查受力平衡條件，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，理解在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間除與圓心角有關(guān)外，還與n取奇偶性有關(guān)．