Question

如圖豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧軌道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示。一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初動(dòng)能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點(diǎn)。已知水平軌道AB長(zhǎng)為L，軌道ABCD的質(zhì)量為3m。求：
   （1）小物塊在水平軌道上受到摩擦力的大小。
   （2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？
   （3）若增大小物塊的初動(dòng)能，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到最大高度是1.5R，試分析小物塊最終能否停在軌道上？

 

Answer 1

【試題解析】 （1）小物塊沖上軌道的初速度設(shè)為，最終停在AB的中點(diǎn)，跟軌道有相同的速度，設(shè)為v。在這個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有 系統(tǒng)的動(dòng)能損失用于克服摩擦做功，有 得 又 解得摩擦力 （2）若小物塊剛好到達(dá)D處，此時(shí)它與軌道有共同的速度（與v相等），在此過(guò)程中系統(tǒng)總動(dòng)能減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能（克服摩擦做功）和物塊的勢(shì)能，同理，有 解得要使物塊不從D點(diǎn)離開滑道，CD圓弧半徑至少為 （3）設(shè)物塊以初動(dòng)能E′沖上軌道，可以達(dá)到的最大高度是1.5R，物塊從D點(diǎn)離開軌道后，其水平方向的速度總與軌道速度相等，達(dá)到最高點(diǎn)后，物塊的速度跟軌道的速度相等（設(shè)為v₁），同理，有 物塊從最高點(diǎn)落下后仍沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)回到水平軌道上沿BA方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)能沿BA運(yùn)動(dòng)x遠(yuǎn)，達(dá)到與軌道有相同的速度（等于v₂），同理，有， 結(jié)合④⑥式解得 即物塊最終停在水平滑道AB上，距B為處。 【試題評(píng)析】本題考查動(dòng)量守恒定律、功能關(guān)系，是一道典型的動(dòng)量能量綜合題。試題難度中等以上，對(duì)考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問題的能力要求較高。本題的亮點(diǎn)是（2）、（3）問考查學(xué)生情景遷移、類比推理的能力。只要對(duì)動(dòng)量守恒有深刻的理解，物塊不論停在何位置，系統(tǒng)的末速度都相同，損失的機(jī)械能與初動(dòng)能的比值不變。抓住這些關(guān)系，題目的求解就變得簡(jiǎn)捷多了。