Question

1．如圖所示為某種彈射小球的游戲裝置，水平面上固定一輕質(zhì)彈簧及長度可調(diào)節(jié)的豎直管AB．細(xì)管下端接有一小段長度不計(jì)的圓滑彎管，上端B與四分之一圓弧彎管BC相接，每次彈射前，推動(dòng)小球?qū)�彈簧壓縮到同一位置后鎖定．解除鎖定，小球即被彈簧彈出，水平射進(jìn)細(xì)管A端，再沿管ABC從C端水平射出．已知彎管BC的半徑R=0.30m，小球的質(zhì)量為m=50g，當(dāng)調(diào)節(jié)豎直細(xì)管AB的長度L至L₀=0.90m時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球恰好能過管口C端．不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能損失．

（1）求每次彈射時(shí)彈簧對(duì)小球所做的功W；
（2）當(dāng)L取多大時(shí)，小球落至水平面的位置離直管AB最遠(yuǎn)？
（3）調(diào)節(jié)L時(shí)，小球到達(dá)管口C時(shí)管壁對(duì)球的作用力F_N也相應(yīng)變化，考慮到游戲裝置的實(shí)際情況，L不能小于0.15m，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的坐標(biāo)紙上作出F_N隨長度L變化的關(guān)系圖線．（取管壁對(duì)球的作用力F_N方向向上為正，并要求在縱軸上標(biāo)上必要的刻度值．）

Answer 1

分析 （1）小球恰好能過管口C端，可知小球在C點(diǎn)的臨界速度為0，根據(jù)動(dòng)能定理求得小球彈射時(shí)彈簧對(duì)小球做的功；
（2）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)小球射程公式求出小球射程與L的關(guān)系，由數(shù)學(xué)關(guān)系式求射程最大時(shí)對(duì)應(yīng)L的數(shù)值；
（3）小球通過C時(shí)臨界速度為$\sqrt{gR}$時(shí)，小球?qū)�管道壁沒有作用力，大于臨界速度時(shí)對(duì)上管壁有壓力，小球臨界速度時(shí)對(duì)下管壁有壓力，根據(jù)動(dòng)能定理求出經(jīng)過C點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出管壁對(duì)球的作用力與長度L的關(guān)系．

解答 解：（1）小球恰好能到達(dá)管口C時(shí)說明小球到達(dá)C時(shí)速度恰好為零，故小球在彈射至上升到管口C的過程中只有重力和彈簧對(duì)小球做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
W+W_G=0-0
所以彈簧對(duì)小球做的功W=-W_G=$mg（{L}_{0}+R）=50×1{0}^{-3}×10×（0.9+0.3）J$=0.6J
（2）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，小球落地至水平面位置離直管AB最遠(yuǎn)時(shí)，也就是小球的射程最大，則根據(jù)動(dòng)能定理令時(shí)時(shí)管長為L，則
要根據(jù)動(dòng)能定理有：$W-mg（L+R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
可得${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W(wǎng)-mg（L+R）】}{m}}$
所以小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的射程
x=${v}_{C}\sqrt{\frac{2（R+L）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2[W-mg（L+R）]}{m}•\frac{2（R+L）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2[0.6-0.05×10×（L+0.3）]}{0.05}×\frac{2（0.3+L）}{10}}$
由數(shù)學(xué)關(guān)系知，當(dāng)L=0.3m時(shí)，x有最大值2.08m
由于小球從C點(diǎn)開始平拋，故小離落地點(diǎn)離AB管最遠(yuǎn)距離為2.38m；
（3）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W(wǎng)-mg（L+R）】}{m}}$，取向上為正方向則在豎直方向上的合力提供小球在C點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：
$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得${F}_{N}=mg-m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=$\frac{10L}{3}-\frac{5}{2}$（0.15≤L≤0.9）
由此作出F_N-L圖象有：

答：（1）求每次彈射時(shí)彈簧對(duì)小球所做的功W為0.6J；
（2）當(dāng)L取0.3m時(shí)，小球落至水平面的位置離直管AB最遠(yuǎn)；
（3）調(diào)節(jié)L時(shí)，小球到達(dá)管口C時(shí)管壁對(duì)球的作用力F_N也相應(yīng)變化，考慮到游戲裝置的實(shí)際情況，L不能小于0.15m，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的坐標(biāo)紙上作出F_N隨長度L變化的關(guān)系圖線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握小球能過最高點(diǎn)的臨界條件，注意掌握過最高點(diǎn)時(shí)的繩球模型和桿球模型臨界條件的不同．