Question

8．如圖所示，平面坐標(biāo)系Oxy中，在y＞0的區(qū)域存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，在-h＜y＜0的區(qū)域Ⅰ中存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在y＜-h的區(qū)域Ⅱ中存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B．A是y軸上的一點(diǎn)，C是x軸上的一點(diǎn)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子以某一初速度沿x軸正方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)以速度方向與x軸夾角為φ=30°進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ，并以垂直邊界y=-h的速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ．粒子重力不計(jì)．試求：
（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小v；
（2）A、C兩點(diǎn)與O點(diǎn)間的距離y₀、x₀；
（3）粒子從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間可回到y(tǒng)=y₀處？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)知，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，根據(jù)幾何關(guān)系求得軌跡半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求速度大�。�
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合可求得A、C兩點(diǎn)與O點(diǎn)間的距離y₀、x₀；
（3）分段求時(shí)間，磁場(chǎng)中找出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求粒子第一次返回y=y₀處前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間T，根據(jù)周期性，粒子返回y=y₀處前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t=nT

解答 解：（1）由題可知，粒子在磁場(chǎng)Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角θ=60°，相應(yīng)的半徑為
${r_1}=\frac{h}{sin60°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$
由$qvB=m\frac{v^2}{r_1}$，得
$v=\frac{{2\sqrt{3}qBh}}{3m}$
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有
x₀=vcos30°•t₀
${y_0}=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t_0}^2$
又$vsin30°=\frac{Eq}{m}•{t_0}$
解得，${t_0}=\frac{{\sqrt{3}Bh}}{3E}$，${x_0}=\frac{{\sqrt{3}{B^2}{h^2}q}}{3mE}$，${y_0}=\frac{{{B^2}{h^2}q}}{6mE}$；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，第一次返回y=y₀處前在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為${t_1}=\frac{2π}{3}•\frac{m}{qB}$
在磁場(chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為${t_2}=\frac{π}{2}•\frac{m}{qB}$
故第一次返回y=y₀處前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$T=2{t_0}+{t_1}+{t_2}=\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}$
之后運(yùn)動(dòng)呈周期性，故返回y=y₀處前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$t=nT=n（\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}），n∈N$
答：（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\frac{2\sqrt{3}qBh}{3m}$；
（2）A、C兩點(diǎn)與O點(diǎn)間的距離y₀、x₀分別為$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{h}^{2}q}{3mE}$，$\frac{{B}^{2}{h}^{2}q}{6mE}$；
（3）粒子從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過$t=nT=n（\frac{{2\sqrt{3}Bh}}{3E}+\frac{7π}{6}•\frac{m}{qB}），n∈N$可回到y(tǒng)=y₀處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，注意在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場(chǎng)中注意由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．