Question

如圖所示，在平面的第一象限和第二象限區(qū)域內(nèi)，分別存在場(chǎng)強(qiáng)大小均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ，電場(chǎng)Ⅰ的方向沿x軸正方向，電場(chǎng)Ⅱ的方向沿y軸的正方向。在第三象限內(nèi)存在著垂直于平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅲ，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（－x₀，0）。已知電子的電量為－e，質(zhì)量為m（不計(jì)電子所受重力）。
（1）在第一象限內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ后恰能透過(guò)Q點(diǎn)。求釋放點(diǎn)的位置坐標(biāo)x、y應(yīng)滿足的關(guān)系式；
（2）若要電子經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ后過(guò)Q點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小，電子應(yīng)從第一象限內(nèi)的哪點(diǎn)由靜止釋放？求該點(diǎn)的位置和過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的最小動(dòng)能；
（3）在滿足條件（1）的情況下，若想使電子經(jīng)過(guò)Q后再次到達(dá)y軸時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x₀，求第三象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向。

Answer 1

解：（1）設(shè)電子從第一象限內(nèi)坐標(biāo)為（x，y）處由靜止釋放能過(guò)Q點(diǎn)，到達(dá)y軸時(shí)的速度為
由動(dòng)能定理得：①
若能到達(dá)Q點(diǎn)，則應(yīng)滿足：②
 ③
 ④
聯(lián)立①②③④得：⑤
（2）由動(dòng)能定理得：電子從P點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)I和Ⅱ后過(guò)Q點(diǎn)時(shí)動(dòng)能：⑥
而（當(dāng)時(shí)取“=”）⑦
由⑤⑥⑦得：（當(dāng)時(shí)取“=”）⑧
所以電子從第一象限內(nèi)的P（，）點(diǎn)由靜止釋放過(guò)Q點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小，過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的最小動(dòng)能是
（3）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅲ方向垂直紙面向里，則電子左偏，不會(huì)再到達(dá)y軸，所以勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，則：

而
在滿足條件（2）的情況下
所以=45°⑨
設(shè)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅲ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，到達(dá)y軸上的A點(diǎn)，結(jié)合題中條件可推知，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡應(yīng)為以QA為直徑的半圓，OA=x₀，由幾何知識(shí)知：⑩
設(shè)到達(dá)Q點(diǎn)的速度為，則
解得：
根據(jù)牛頓第二定律得：
解得：
把和r的值代入，第三象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度