Question

20．我國(guó)志愿者王躍曾與俄羅斯志愿者一起進(jìn)行“火星-500”的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)．假設(shè)王躍登陸火星后，測(cè)得火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$．已知引力常量為G，地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，王躍在地面上能向上豎直跳起的最大高度是h，忽略自轉(zhuǎn)的影響，下列說法不正確的是（　�。�

• A． 火星的密度為$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度是$\frac{2g}{9}$
• C． 火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為$\frac{2}{3}$
• D． 王躍以與在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能達(dá)到的最大高度是$\frac{9h}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力得出重力加速度之比，結(jié)合萬有引力等于重力求出火星的質(zhì)量，從而得出火星的密度．根據(jù)萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度之比．根據(jù)初速度相等，結(jié)合速度位移公式，通過重力加速度之比求出上升的最大高度之比．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因?yàn)榛鹦堑陌霃绞堑厍虬霃降?\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，即火星表面的重力加速度為$\frac{4}{9}g$，因?yàn)榛鹦堑陌霃綖?\frac{1}{2}R$，根據(jù)$G\frac{{M}_{火}m}{（\frac{1}{2}R）^{2}}=m\frac{4}{9}g$，解得火星的質(zhì)量${M}_{火}=\frac{1}{9}g{R}^{2}$，則火星的密度$ρ=\frac{{M}_{火}}{\frac{4}{3}π{（\frac{R}{2}）}^{3}}=\frac{\frac{1}{9}g{R}^{2}}{\frac{4}{3}π{（\frac{R}{2}）}^{3}}=\frac{2g}{3πGR}$，故A正確，B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，則第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，因?yàn)榛鹦堑陌霃绞堑厍虬霃降?\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$知，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，知在火星上起跳能達(dá)到的最大高度為$\frac{9}{4}h$．故D錯(cuò)誤．
本題選錯(cuò)誤的，故選：BCD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力這兩個(gè)重要的理論，并能靈活運(yùn)用，難度不大．