Question

10．某兩級串列加速器外形設(shè)計(jì)酷似“U”型，其主體結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示，其中ab、cd為兩底面為正方形的長方體加速管，加速管長為L，底面邊長為r且兩加速管底面有一邊在一條線上．兩加速管中心軸線的距離為D=49r，加速管內(nèi)存在和軸線平行的勻強(qiáng)電場，b、d的下方區(qū)域存在垂直兩加速管軸線平面的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度大小為B，現(xiàn)將速度很小的負(fù)一價(jià)粒子均勻地從a端面輸入，經(jīng)過加速管ab加速，垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場偏轉(zhuǎn)，到達(dá)d處時(shí)，可被設(shè)在d處的特殊裝置將其電子剝離（粒子速度不變，特殊裝置大小可忽略），成為三價(jià)正粒子，沿軸線進(jìn)入的粒子恰能沿兩加速管軸線加速，已知b、d兩端相等，a、c兩端電勢相等，元電荷為e，該粒子質(zhì)量為m，不計(jì)粒子重力及粒子間相互作用力．
（1）試求a、b兩端的電勢差U_ab．
（2）僅改變加速管電壓，則粒子在加速器中經(jīng)歷的最短時(shí)間是多少？
（3）實(shí)際工作時(shí)，磁場可能會(huì)與設(shè)計(jì)值B有一定偏差△B，而會(huì)以B-△B至B+△B間的某一確定值工作，若要求至少有90%的粒子能被成功加速，試求偏差△B的最大值．

Answer 1

分析 （1）加速電場中運(yùn)用動(dòng)能定理，在磁場中運(yùn)用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出a、b兩端的電勢差U_ab；
（2）分別對兩個(gè)加速管運(yùn)用動(dòng)能定理，根據(jù)兩個(gè)加速管的電壓相同，求出粒子速度關(guān)系，再求出粒子在加速管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁以及粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂加和即可，根據(jù)周期公式可知t₂為半個(gè)周期，是一定值，t₁越短，粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間也越短，在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑最大，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，聯(lián)立即可求出粒子在加速器中經(jīng)歷的最短時(shí)間；
（3）根據(jù)洛倫茲力提供向心力幾何臨界結(jié)合關(guān)系即可求出偏差△B的最大值．

解答 解：（1）沿軸線加速的粒子從b端進(jìn)入磁場時(shí)速度為v，在磁場中運(yùn)動(dòng)的直徑為D，則：
-eU_ab=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
evB=$\frac{m{v}^{2}}{\frac{D}{2}}$ ②
聯(lián)立①②兩式可得：U_ab=$-\frac{{D}^{2}e{B}^{2}}{8m}$
（2）在ab加速管中：-eU_ab′=$\frac{1}{2}m{v′}^{2}$ ③
在cd加速管中：-3eU_cd′=$\frac{1}{2}mv{″}^{2}$-$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$ ④
又U_ab′=U_cd′⑤
由③④⑤式子可知：v″=2v′⑥
在加速管中總時(shí)間為t₁=$\frac{L}{\frac{v′}{2}}$+$\frac{L}{\frac{v′+v″}{2}}$=$\frac{8L}{3v′}$ ⑦
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無關(guān)：t₂=$\frac{1}{2}T$=$\frac{1}{2}•\frac{2πm}{eB}$=$\frac{πm}{eB}$⑧
若在電場中時(shí)間最短，則粒子末速度最大，粒子以最大半徑運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，此時(shí)直徑d=D+r
即：ev′B=$\frac{mv{′}^{2}}{\frac{D+r}{2}}$⑨
由⑥⑦⑧⑨式可得粒子在加速器中經(jīng)歷的最短時(shí)間：t_min=$[\frac{16L}{3（D+r）}+π]\frac{m}{eB}$=$[\frac{16L}{150r}+π]\frac{m}{eB}$
（3）按照設(shè)計(jì)要求工作時(shí)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$⑩
且2R=D⑪
當(dāng)磁場為B′時(shí)，R′=$\frac{mv}{eB′}$⑫
要求90%的粒子能實(shí)現(xiàn)加速
若磁場變?nèi)�，則：$\frac{2R′-D}{r}$＜0.1⑬
聯(lián)立⑩⑪⑫⑬式得：B′＞$\frac{49}{50}$B
此時(shí)偏差△B=B-$\frac{49}{50}$B=$\frac{B}{50}$
若磁場變強(qiáng)，則：$\frac{D-2R′}{r}$＜0.1⑭
聯(lián)立⑩⑪⑫⑭式得：B′＜$\frac{49}{48}$B
此時(shí)偏差△B=$\frac{49}{48}$B-B=$\frac{1}{48}$B
綜上所述偏差△B的最大值：△B_max=$\frac{B}{50}$
解：（1）a、b兩端的電勢差U_ab為$-\frac{{D}^{2}e{B}^{2}}{8m}$；
（2）僅改變加速管電壓，粒子在加速器中經(jīng)歷的最短時(shí)間為$[\frac{16L}{150r}+π]\frac{m}{eB}$；
（3）實(shí)際工作時(shí)，磁場可能會(huì)與設(shè)計(jì)值B有一定偏差△B，而會(huì)以B-△B至B+△B間的某一確定值工作，若要求至少有90%的粒子能被成功加速，偏差△B的最大值為$\frac{B}{50}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要讀懂題，找出已知條件，清楚粒子運(yùn)動(dòng)的過程，選擇合適的規(guī)律解題，第一問較為常規(guī)難度不大；第二問要注意分析時(shí)間最短的條件；第三問磁感應(yīng)強(qiáng)度發(fā)生波動(dòng)時(shí)，要注意有兩種情況：變大或者變小，分別求兩次的波動(dòng)值，取兩次波動(dòng)值中的較大的即為偏差△B的最大值．