Question

6．宇航員在地球上用一根長0.5m細繩拴著一個小球在豎直平面內做圓周運動，用傳感器測出小球在最高點時的速度大小v=3m/s及繩上的拉力F=4N．若宇航員將此小球和細繩帶到某星球上，在該星球表面上讓小球也在豎直平面內做圓周運動，用傳感器測出在最低點時繩上拉力F₁=9N，速度大小v₁=2$\sqrt{2}$m/s取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計．求：
（1）該小球的質量m；
（2）該星球表面附近的重力加速度g′；
（3）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星：R_地=1：4，求該星球與地球的質量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析 （1）小球在最高點A時，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列出等式求解球的質量m
（2）該星球表面上讓小球也在豎直平面內做圓周運動，在最低點根據合力提供向心力列式，求解星球表面附近的重力加速度．
（3）根據重力近似等于萬有引力，分別計算出地球的質量和該星球的質量，再求比值．

解答 解：（1）小球在最高點時，根據合力提供向心力得
   mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
所以$m=\frac{F}{\frac{{v}^{2}}{L}-g}$=$\frac{4}{\frac{{3}^{2}}{0.5}-10}kg$=0.5kg
（2）該星球表面上讓小球也在豎直平面內做圓周運動，在最低點根據合力提供向心力，${F}_{1}-mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
所以$g′=\frac{{F}_{1}-m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}}{m}$=$\frac{9-0.5×\frac{8}{0.5}}{0.5}m/{s}^{2}$=2m/s²
（3）在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}$，得地球的質量${M}_{地}=\frac{g{{R}_{地}}^{2}}{G}$
同理該星球的質量${M}_{星}=\frac{g′{{R}_{星}}^{2}}{G}$
所以$\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}=\frac{g′}{g}•（\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}）^{2}$=$\frac{2}{10}×（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{80}$
答：（1）該小球的質量是0.5kg；
（2）該星球表面附近的重力加速度為2m/s²；
（3）該星球與地球的質量之為1：80．

點評 解決本題的關鍵運用牛頓第二定律、機械能守恒定律和掌握萬有引力等于重力解答．該星球表面上讓小球也在豎直平面內做圓周運動，根據牛頓第二定律列出等式求解星球表面附近的重力加速度．