Question

19．如圖所示，質(zhì)量M=2kg，半徑R=0.3m的四分之一豎直光滑圓弧槽，靜置在光滑水平面上，槽的末端和水平面相切，一質(zhì)量m=1kg，可視為質(zhì)點(diǎn)的光滑小球，以初速度v₀沖上圓弧槽，g=10m/s²，求：
（1）若槽固定在水平面上，要使小球恰好到達(dá)槽的最上端A點(diǎn)，v₀應(yīng)為多少
（2）若槽不固定，要使小球恰好到達(dá)槽的最上端A點(diǎn)，v₀應(yīng)為多少
（3）若槽不固定，當(dāng)v₀=6m/s時(shí)，圓弧槽最終獲得的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理，抓住小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度為零，求出初速度的大小．
（2）若槽不固定，小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)與槽共速，在水平方向上動(dòng)量守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求出初速度的大�。�
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒求出圓弧槽最終獲得的速度．

解答 解：（1）對(duì)小球，利用動(dòng)能定理：-mgR=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$．
得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.3}$m/s=$\sqrt{6}m/s$．
（2）小球恰好到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，水平方向和槽共速，豎直方向速度為0．對(duì)系統(tǒng)，
規(guī)定小球的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律：mv₀=（M+m）v，
由能量守恒定律：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：v₀=3m/s．
（3）當(dāng)v₀=6m/s時(shí)，小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，水平方向仍和槽共速，故小球從A點(diǎn)離開(kāi)槽后，還能再次從A點(diǎn)落回槽，并最終從槽的左側(cè)離開(kāi)槽．對(duì)系統(tǒng)：
規(guī)定小球的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律：mv₀=mv₁+Mv₂，
由能量守恒定律：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{m+M}=\frac{2×1×6}{1+2}=4m/s$，方向向右．
答：（1）v₀應(yīng)為$\sqrt{6}m/s$；
（2）v₀應(yīng)為3m/s．
（3）圓弧槽最終獲得的速度為4m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒和能量守恒的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，知道當(dāng)槽不固定，小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，兩者具有共同的速度．