Question

6．如圖，兩光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，中間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．兩金屬棒a，b與導(dǎo)軌相垂直，且始終接觸良好．設(shè)金屬棒a的質(zhì)量為M，b的質(zhì)量為m，現(xiàn)給金屬棒a一個(gè)水平向右的速度v₀，求經(jīng)過多長時(shí)間后，兩金屬棒速度大小相同．

Answer 1

分析 a棒運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，回路中有電流，兩導(dǎo)體棒均受安培力作用，a棒做減速，b棒做加速運(yùn)動(dòng)，對b棒由牛頓第二定律結(jié)合閉合電路歐姆定律、安培力公式F=BIL列式求解．

解答 解：對ab棒整體，安培力為內(nèi)力，水平方向合外力為零，兩者的動(dòng)量守恒，有動(dòng)量定理可得：Mv₀=（M+m）v_共，解得兩棒最后的共同速度為：${v}_{共}=\frac{M{v}_{0}}{m+M}$
對b棒受力分析：導(dǎo)體棒受重力、支持力和安培力；
設(shè)t₁時(shí)刻a棒速度為v_a，b棒的速度為v_b，由右手定則可知，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=BL（v_a-v_b）
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL（{v}_{a}-{v}_）}{R}$
安培力為：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{a}-{v}_）}{R}$=ma_b=m$\frac{△v}{△t}$
故：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{a}-{v}_）△t=m△v$
求和，有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}∑（{v}_{a}-{v}_）∑△t=m∑△v$
得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-{v}_{共}-{v}_{共}）t=m{v}_{共}$，即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-\frac{2m{v}_{0}}{m+M}）t=\frac{{m}^{2}}{M+m}{v}_{0}$
解得：t=$\frac{{m}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}（M-m）}$．
答：經(jīng)過$\frac{{m}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}（M-m）}$時(shí)間后，兩金屬棒速度大小相同．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是對b根據(jù)牛頓第二定律列出表達(dá)式進(jìn)行分析，明確導(dǎo)體棒做加速度不斷減小的減速運(yùn)動(dòng)，難點(diǎn)在要結(jié)合微元法進(jìn)行分析．