Question

4．一小球在流體中運動時，它將受到流體阻礙運動的黏滯力，實驗發(fā)現當小球相對流體的速度不太大時，黏滯阻力F₁=6πηvr，式中η為黏滯系數，隨液體的種類和溫度而定，v為小球相對流體運動的速度，r為小球的半徑，現將一個半徑r=1.0mm的鋼珠放入常溫下的甘油中讓它下落，已知鋼的密度為ρ=8.5×10³kg/m³，常溫下甘油的密度為ρ₀=1.3×10³kg/m³，甘油的黏滯系數η=0.80Pa•s （取g=10m/s²）
（1）鋼珠從靜止釋放后，在甘油中做什么性質的運動？
（2）當鋼珠的加速度a=$\frac{g}{2}$時，它的速度多大？

Answer 1

分析 （1）鋼球從靜止釋放后，受到重力和黏滯阻力，由題分析阻力隨速度的變化，判斷合力的變化情況，從而分析出其運動性質．
（2）根據牛頓第二定律求出小球加速度為$\frac{g}{2}$時的黏滯阻力，再根據黏滯阻力求出小球的速度．

解答 解：（1）鋼球從靜止釋放后，受到向下的重力和向上的黏滯阻力和浮力，由題F₁=6πηvr，可知阻力隨速度的增大而增大，則鋼球的合力減小，加速度減小，鋼球做加速度減小的變加速運動．當阻力、浮力與重力平衡條件時做勻速直線運動．
（2）小球受重力、阻力、浮力作用下做加速運動，根據牛頓第二定律有：
mg-F_浮-F₁=ma
由題意有：$m=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$，${F}_{浮}={ρ}_{0}\frac{4}{3}π{r}^{3}$g，F₁=6πηvr
代入有：$ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}g-{ρ}_{0}\frac{4}{3}π{r}^{3}g-6πηvr=m\frac{g}{2}$
可得：$v=\frac{（\frac{1}{2}ρ-{ρ}_{0}）\frac{4}{3}π{r}^{3}g}{6πηr}$=$\frac{2.95×1{0}^{3}×\frac{4}{3}×π×（1×1{0}^{-3}）^{3}×10}{6π×0.80×1×1{0}^{-3}}m/s$=8.2×10^-3m/s
答：（1）鋼珠從靜止釋放后，在甘油中先做加速度減小的加速運動，最后做勻速運動；
（2）當鋼珠的加速度a=$\frac{g}{2}$時，它的速度為8.2×10^-3m/s．

點評 本題是信息題，要在讀懂題意的基礎上，運用動力學方法分析鋼球的運動情況，運用共點力平衡進行求解．