Question

15．如圖所示，在直線MN右側(cè)分布了B=0.1T的勻強(qiáng)磁場，其方向垂直紙面向外．在邊界上的P點(diǎn)有一粒子源，能以一定的速率v=1×10⁶ m/s在紙面內(nèi)向各個(gè)方向不斷地發(fā)射比荷為1×10⁸ C/kg的帶正電粒子（同一時(shí)刻在一個(gè)方向上僅發(fā)射一個(gè)粒子，且不計(jì)粒子重力及粒子間相互作用），PP′為熒光屏，PP′與MN的夾角為α=30°，當(dāng)有兩個(gè)粒子同時(shí)打在熒光屏上某點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)就被點(diǎn)亮．已知A是PP′上的一個(gè)亮點(diǎn)，P、A的距離L=10$\sqrt{3}$cm．
（1）求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）求同時(shí)打到A點(diǎn)的兩個(gè)粒子從射入到打到A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之差．
（3）屏上亮線的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律，即可求解軌道半徑；
（2）根據(jù)左手定則判斷洛倫茲力方向，作出運(yùn)動(dòng)軌跡的圖，由幾何關(guān)系，可求出軌道對(duì)應(yīng)的圓心角，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的周期公式，再求解時(shí)間之差；
（3）當(dāng)粒子射入磁場時(shí)與屏的夾角為$\frac{π}{2}$時(shí)，粒子到達(dá)屏上的位置距P點(diǎn)最遠(yuǎn)．當(dāng)粒子沿PM方向射入磁場時(shí)，將與另一粒子同時(shí)到達(dá)屏上一點(diǎn)，此點(diǎn)距離P點(diǎn)最近．由幾何知識(shí)求解．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，有：
 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$　
得 r=$\frac{mv}{qB}$
代入數(shù)據(jù)解得 r=0.1m．
（2）如右圖所示，設(shè)點(diǎn)亮A點(diǎn)的其中一個(gè)粒子射入磁場時(shí)與屏PP′的夾角為θ，則另一粒子與PP′的夾角為π-θ
則有sin θ=$\frac{\frac{L}{2}}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$　
即θ=$\frac{π}{3}$　
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期 T=$\frac{2πm}{qB}$=6.28×10^-7 s　
兩粒子從射入到打在A點(diǎn)的時(shí)間分別為t₁=$\frac{\frac{2π}{3}}{2π}$T，t₂=$\frac{2π-\frac{2π}{3}}{2π}$T
故兩粒子打到A點(diǎn)之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差△t=$\frac{1}{3}$T=2.09×10^-7 s．
（3）當(dāng)粒子射入磁場時(shí)與屏的夾角為$\frac{π}{2}$時(shí)，粒子到達(dá)屏上的位置距P點(diǎn)最遠(yuǎn)．
此時(shí)距離 l_max=2r=0.2m　
當(dāng)粒子沿PM方向射入磁場時(shí)，將與另一粒子同時(shí)到達(dá)屏上一點(diǎn)，此點(diǎn)距離P點(diǎn)最近．
此距離 l_min=2rsin 30°=0.1m
故亮線的長度△l=l_max-l_min=0.1m．
答：
（1）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑是0.1m．
（2）同時(shí)打到A點(diǎn)的兩個(gè)粒子從射入到打到A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之差為2.09×10^-7 s．
（3）屏上亮線的長度是0.1m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵．