Question

11．如圖所示，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，有相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里．一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從M點(diǎn)沿y軸正方向以某一速度射入，帶電粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t₀時(shí)間從N點(diǎn)射出．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）若僅撤去磁場(chǎng)，帶電粒子仍從M點(diǎn)以相同的速度射入，經(jīng)$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)間恰從圓形區(qū)域的邊界射出．求粒子運(yùn)動(dòng)加速度的大�。�
（3）若僅撤去電場(chǎng)，帶電粒子仍從M點(diǎn)射入，且速度為原來(lái)的2倍，請(qǐng)結(jié)合（2）中的條件，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由左手定則判斷出粒子所受洛倫茲力方向，然后應(yīng)用平衡條件求出電場(chǎng)強(qiáng)度大小與電場(chǎng)強(qiáng)度方向．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出粒子的加速度．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，然后結(jié)合偏轉(zhuǎn)的角度求出時(shí)間．

解答 解：（1）由左手定則可知，粒子剛射入磁場(chǎng)時(shí)受到的洛倫茲力水平向右，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場(chǎng)力是一對(duì)平衡力，電場(chǎng)力水平向左，粒子帶正電，則電場(chǎng)強(qiáng)度的方向水平向右；由平衡條件得：
qE=qv₀B，
又：${v}_{0}=\frac{2R}{{t}_{0}}$
解得電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：E=$\frac{2BR}{{t}_{0}}$；
（2）由左手定則可知，正電荷向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到的洛倫茲力的方向向左，所以電場(chǎng)力的方向向右，電場(chǎng)的方向向右，撤去磁場(chǎng)后粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直方向：y=v₀t=${v}_{0}•\frac{{t}_{0}}{2}={v}_{0}•\frac{\frac{2R}{{t}_{0}}}{2}=R$，
豎直方向的位移是R，所以粒子從圓形區(qū)域的最右邊射出，所以水平方向的位移也是R，則水平方向：$R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得：$a=\frac{2R}{{t}^{2}}=\frac{2R}{（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}}=\frac{8R}{{t}_{0}^{2}}$
（2）若僅撤去電場(chǎng)，帶電粒子仍從M點(diǎn)射入，且速度為原來(lái)的2倍粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑r：
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
q2v₀B=m$\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$，
而：qv₀B=qE=ma=$\frac{8mR}{{t}_{0}^{2}}$
解得：$r=\frac{m•2{v}_{0}}{qB}=\frac{m•2•\frac{2R}{{t}_{0}}•\frac{2R}{{t}_{0}}}{\frac{8mR}{{t}_{0}^{2}}}=R$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑與磁場(chǎng)的半徑相同，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡是$\frac{1}{4}$圓周，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{1}{4}$周期．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
$t′=\frac{1}{4}•T=\frac{1}{4}•\frac{2πr}{2{v}_{0}}=\frac{πR}{4{v}_{0}}=\frac{π{t}_{0}}{8}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是$\frac{2BR}{{t}_{0}}$，方向水平向右．
（2）若僅撤去磁場(chǎng)，帶電粒子仍從M點(diǎn)以相同的速度射入，經(jīng)$\frac{{t}_{0}}{2}$時(shí)間恰從圓形區(qū)域的邊界射出．粒子運(yùn)動(dòng)加速度的大小是$\frac{8R}{{t}_{0}^{2}}$．
（3）若僅撤去電場(chǎng)，帶電粒子仍從M點(diǎn)射入，且速度為原來(lái)的2倍，請(qǐng)結(jié)合（2）中的條件，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\frac{π{t}_{0}}{8}$

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是分析粒子的受力情況，再分析運(yùn)動(dòng)情況．對(duì)于類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)要掌握分解的方法，對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用幾何知識(shí)確定圓心角是關(guān)鍵．