Question

10．如圖所示將一根絕緣硬金屬導線彎曲成一個完整的正弦曲線形狀，它通過兩個小金屬環(huán)與長直金屬桿導通，在外力F作用下，正弦形金屬線可以在桿上無摩擦滑動．桿的電阻不計，導線電阻為R，ab間距離為2L，導線組成的正弦圖形頂部或底部到桿的距離都是d，在導線和桿平面內有一有界勻強磁場區(qū)域，磁場的寬度為L，磁感應強度為B，現(xiàn)在外力F作用下導線沿桿以恒定的速度v向右運動，t=0時刻導線從O點進入磁場，直到全部穿過過程中，外力F所做功為（　�。�

• A． $\frac{{{B^2}{L^2}{v^2}}}{R}$
• B． $\frac{{2{B^2}{d^2}Lv}}{R}$
• C． $\frac{{3{B^2}{d^2}{v^2}}}{R}$
• D． $\frac{{3{B^2}{d^2}Lv}}{R}$

Answer 1

分析 金屬導線向右一共移動了3L，把全過程分為三個階段，因導線切割磁力線的有效長度是隨正弦規(guī)律變化的，所以產生的電流也是按正弦規(guī)律變化的正弦交流電，分別求出在這三段中的有效電動勢，結合運動時間可求出每段運動過程上產生的內能，外力F所做的功全部轉化為了內能．

解答 解：金屬導線在磁場中運動時，產生的電動勢為：e=Bvy，y為導線切割磁力線的有效長度．
在導線運動的過程中，y隨時間的變化為：
y=dsinπ$\frac{x}{L}$=dsinπ$\frac{vt}{L}$=dsinωt，$\frac{πv}{L}$=ω，
則導線從開始向右運動到L的過程中（如圖）有：
e₁=Bvy=Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=Bvdsinωt
則此過程中電動勢的最大值為：E_1max=Bvd，此過程中電動勢的有效值為：
E₁=$\frac{{E}_{1max}}{\sqrt{2}}=\frac{Bvd}{\sqrt{2}}$，
導線從L向右運動到2L的過程中（如圖）有：
e₂=2Bvy=2Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=2Bvdsinωt，
即：E_2max=2Bvd，
所以：E₂=2E₁=$\frac{2Bvd}{\sqrt{2}}$，
導線從2L向右運動到3L的過程與導線從開始向右運動L的過程相同（如圖），
則在這三段中運動的時間各為t，t=$\frac{L}{v}$，
在整個過程中產生的內能為：
Q=$\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{2}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}$
解得：Q=$\frac{3{B}^{2}yrv9y9p^{2}Lv}{R}$
故ABC錯誤，D正確．
故選：D．

點評 該題是以另外一種形式考察了交變電流的做功問題，解決此題的關鍵是把整個過程進行合理分段，分別求出各段的電動勢的有效值，即可求出全過程的電功了．難度較大．