Question

（10分）如所示圖，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r₀，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B，在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）

   

Answer 1

解析：

帶電粒子從出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)力作用下加速，沿徑向穿出而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子再回到點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫。只要穿過了，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)。然后，粒子將以同樣方式經(jīng)過、，再經(jīng)過回到點(diǎn)。設(shè)粒子射入磁場(chǎng)區(qū)的速度為，根據(jù)能量守恒，有

               ①

設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，由洛侖茲力公式和牛頓定律得：

                ②

由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從到必經(jīng)過圓周。所以半徑必定等于筒的外半徑，即

                   ③

由以上各式解得：