Question

12．土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等、線度從1μm到10m的巖石、塵埃．它們類似于衛(wèi)星，與土星中心的距離從7.3×10⁴km延伸到1.4×10⁵km．已知環(huán)的外顆粒繞土星做圓周運動的周期約為14h，若不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用，引力常量為6.67×10^-11N•m²/kg²，試估算：
（1）土星的質量．
（2）組成“光環(huán)”顆粒的運動速度的大小范圍．

Answer 1

分析 （1）研究環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出土星的質量；
（2）根據萬有引力提供圓周運動向心力由光環(huán)顆粒的半徑大小范圍求得圓周運動的線速度大小范圍．

解答 解：（1）研究環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
則得土星的質量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4×3.1{4}^{2}×（1.4×1{0}^{5}×1{0}^{3}）^{3}}{6.67×1{0}^{-11}×（14×3600）^{2}}kg$≈6.4×10²⁶kg
（2）光環(huán)中顆粒繞土星圓周運動，萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
所以軌道半徑最大時速度最小，即${v}_{min}=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{max}}}=\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×6.4×1{0}^{26}}{1.4×1{0}^{5}×1{0}^{8}}}$m/s=1.7×10⁴m/s；
軌道半徑最小時速度最大，即${v}_{max}=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{min}}}=\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×6.4×1{0}^{26}}{7.3×1{0}^{4}×1{0}^{3}}}$m/s=2.4×10⁴m/s
即光環(huán)的速度大小范圍為：2.4×10⁴m/s≥v≥1.7×10⁴m/s
答：（1）土星的質量為6.4×10²⁶kg；
（2）組成“光環(huán)”顆粒的運動速度的大小范圍為2.4×10⁴m/s≥v≥1.7×10⁴m/s．

點評 本題建立模型，知道旋轉天體的軌道半徑和周期，利用萬有引力提供向心力，能求出中心天體的質量，并能根據半徑大小范圍求得環(huán)繞天體的速度大小范圍．