Question

如圖所示，質(zhì)量為M的光滑長木板靜止在光滑水平地面上，左端固定一勁度系數(shù)為k的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長的細(xì)繩連接于豎直墻上，細(xì)繩所能承受的最大拉力為F_T，使一質(zhì)量為m、初速度為v₀的小物體，在木板上無摩擦地向左滑動(dòng)而后壓縮彈簧，細(xì)繩被拉斷，不計(jì)細(xì)繩被拉斷時(shí)的能量損失．彈簧的彈性勢能表達(dá)式為E_p=

1

2

kx²（k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量）．

（1）要使細(xì)繩被拉斷，v_o應(yīng)滿足怎樣的條件？
（2）若小物體最后離開長木板時(shí)相對地面速度恰好為零，請?jiān)谧鴺?biāo)系中定性畫出從小物體接觸彈簧到與彈簧分離的過程小物體的v-t圖象；
（3）若長木板在細(xì)繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大加速度為a_M，求此時(shí)小物體的速度．

Answer 1

分析：（1）細(xì)繩恰好被拉斷時(shí)，細(xì)繩的拉力恰好等于F_T，根據(jù)胡克定律求出彈簧的壓縮量．在彈簧被壓縮的過程中，物塊的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，由機(jī)械能守恒求解細(xì)繩被拉斷時(shí)物塊的速度條件．
（2）彈簧壓縮過程，彈力變大，加速度變大，物體做加速度變大的減速運(yùn)動(dòng)；彈簧恢復(fù)原長過程，彈力減小，加速度減小，物體做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)；
（3）彈簧壓的最短時(shí)，彈力最大，木板的加速度最大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動(dòng)量守恒定律列式求解即可．

解答：解：（1）設(shè)細(xì)繩剛被拉斷時(shí)彈簧的壓縮量為x₁，此時(shí)有 kx₁=F_T
為使彈簧壓縮達(dá)到x₁，對小物塊要求是

1

2

m

v

2 0

＞

1

2

k

x

2 1

，由此得到，細(xì)繩被拉斷的條件是：v₀＞

FT

km

；
（2）圖象如圖；

（3）當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，滑塊有向左的最大加速度a_m，此時(shí)，設(shè)彈簧壓縮量為x₂，小物體和滑塊具有相同的速度v；
根據(jù)牛頓第二定律，有
kx₂=Ma_M
從小物體接觸彈簧到壓縮到最短，小物體、滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有

1

2

k

x

2 2

+

1

2

(M+m)v2=

1

2

m

v

2 0

解得
v=

km v 2 0 -(MaM)2 k(M+m)

答：（1）要使細(xì)繩被拉斷，v_o應(yīng)滿足的條件是v₀＞

FT

km

；
（2）圖象如上圖所示；
（3）若長木板在細(xì)繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大加速度為a_M，此時(shí)小物體的速度為v=

km v 2 0 -(MaM)2 k(M+m)

．

點(diǎn)評：本題是系統(tǒng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的綜合應(yīng)用，要挖掘所隱含的臨界條件：細(xì)繩被拉斷剛好被拉斷時(shí)，細(xì)繩的拉力達(dá)到最大．