Question

如圖所示，以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場(chǎng)，寬度為d，兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、帶電量+q、重力不計(jì)的帶電粒子，以初速度v₁垂直邊界射入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后進(jìn)入電場(chǎng)做勻加速運(yùn)動(dòng)，然后第二次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，此后粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中交替運(yùn)動(dòng)．已知粒子第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此類推．求：

（1）粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程中電場(chǎng)力所做的功W₁；

（2）粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n；

（3）粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n；

（4）假設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)為零．請(qǐng)畫出從粒子第一次射入磁場(chǎng)至第三次離開電場(chǎng)的過程中，電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線（不要求寫出推導(dǎo)過程，不要求標(biāo)明坐標(biāo)刻度值）．

Answer 1

考點(diǎn)：  帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)；帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．

專題：  帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)專題．

分析：  （1）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑R_n與速度的關(guān)系式，由題給條件研究粒子第2次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程的末速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程中電場(chǎng)力所做的功W₁．

（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)果可知粒子第n+1次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)和穿出電場(chǎng)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n．

（3）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)的加速度，由（2）結(jié)論，由速度公式求出粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n．

（4）根據(jù)E_n的表達(dá)式，分別求出粒子前三次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，再作圖．

解答：  解：（1）設(shè)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑為R_n，速度為v_n，

由牛頓第二定律得：qv_nB=m    ①解得：v_n=  ②

因?yàn)椋簉₂=2r₁，則：v₂=2v₁ ③

對(duì)粒子第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程，

由動(dòng)能定理得：W₁=mv₂²﹣mv₁² ④

聯(lián)立③④解得：W₁=mv₁² ⑤；

（2）粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為v_n，穿出電場(chǎng)時(shí)速度為v_n+1，

由題意知：v_n=nv₁，v_n+1=（n+1）v₁    …⑥

由動(dòng)能定理得：qE_nd=mv_n+1²﹣mv_n² ⑦

聯(lián)立⑥⑦解得：E_n=  ⑧；

（3）設(shè)粒子第n次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a_n，

由牛頓第二定律得qE_n=ma_n…⑨

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v_n+1﹣v_n=a_nt_n…⑩

聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩解得：t_n=；

（4）E﹣t圖象如圖所示：

答：（1）粒子第一次經(jīng)過電場(chǎng)的過程中電場(chǎng)力所做的功W₁為mv₁²；

（2）粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n為；

（3）粒子第n次經(jīng)過電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n為；

（4）電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：  本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度，穿出電場(chǎng)時(shí)速度．動(dòng)能定理是功常用的方法．