Question

11．如圖所示，一帶正電的擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點D處，擺線剛好被拉斷，此時小球恰好與水平面相切，然后沿粗糙水平面由D點向右做勻減速運動，到達小孔A進入半徑R=0.1m的豎直放置的光滑圓弧軌道．圓軌道處在一個方向水平向右的有界勻強電場中，電場邊界MN、PQ與圓軌道相切．若已知擺線長L=1m，θ=60°，D點與小孔A的水平距離s=2m，小球質量m=0.1kg，小球所受電場力為其重力的$\frac{3}{4}$倍，g取10m/s²．求：
（1）擺線所受的最大拉力；
（2）要使擺球進入圓軌道后能做完整的圓周運動，水平面摩擦因數(shù)μ的大小應滿足什么條件？（計算結果保留2位有效數(shù)字，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）擺球擺到D點時，擺線的拉力最大，根據(jù)機械能守恒定律求出擺球擺到D點時速度，由牛頓第二定律求出擺線的最大拉力．
（2）根據(jù)重力和電場力的合力得出等效重力場，要使擺球能進入圓軌道，并且不脫離軌道，要使擺球能進入圓軌道，恰好到達軌道等效最高點，就剛好不脫離軌道，在等效最高點時，由等效重力提供向心力，由牛頓第二定律求出此時小球的速度，對從D到軌道最高點的過程，運用動能定理求解動摩擦因數(shù)的最小值，即可得到μ的范圍．

解答 解：（1）當擺球由C到D運動，機械能守恒，則得：mg（L-Lcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點，由牛頓第二定律可得：F_m-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
聯(lián)立可得：擺線的最大拉力為 F_m=2mg=2N
（2）等效重力mg'=$\sqrt{（mg）^{2}+（Eq）^{2}}$=$\frac{5}{4}$mg；
方向與豎直方向夾角為tanα=$\frac{Eq}{mg}$=$\frac{3}{4}$；
則α=37°；
設等效最高點為E，則有：mg'=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$；
對擺球由動能定理可得：
-μmgs+qER（1-sinα）-mg（1+cosα）=$\frac{1}{2}$mv_E²-$\frac{1}{2}$mv_D²
要使小球能過圓軌道的最高點則不會脫離軌道，在圓周的最高點由牛頓第二定律可得：$mg=m\frac{v^2}{R}$
由動能定理可得：-μmgs-2mgR+qER=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_D²
解得：μ=0.125
答：（1）擺線能承受的最大拉力為2N；
（2）使擺球進入圓軌道后能做完整的圓周運動，水平面摩擦因數(shù)μ的大小應滿足μ≤0.125．

點評 本題考查機械能守恒定律及動能定理、向心力公式等；關鍵是要全面分析不能漏解，要知道擺球能進入圓軌道不脫離軌道應是恰好通過等效最高點；然后再根據(jù)牛頓第二定律、機械能守恒和動能定理結合進行求解．