Question

1．如圖所示，一斜面固定在水平面上，傾角為θ=30°，高度為h=1.5m，一薄木板B置于斜面頂端，恰好能保持靜止，木板下端連接有一根自然長度為l₀=0.2m的輕彈簧，木板總質量為m=1kg，總長度為L=2.0m，一質量為M=3kg的小物塊A從斜面體左側某位置水平拋出，該位置離地面高度為H=1.7m，物塊A經過一段時間后從斜面沿平行于斜面方向落到木板上并開始向下滑行，已知A、B之間的動摩擦因數為$μ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，木板下滑到斜面底端碰到擋板時立刻停下，物塊A最后恰好能脫離彈簧，且彈簧被壓縮時一直處于彈性限度內，最大摩擦力可認為等于滑動摩擦力，取重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力，求：
（1）物塊A落地木板上的速度大小v；
（2）彈簧被壓縮到最短時間的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）物塊A落到木板前做平拋運動，根據平拋運動的規(guī)律求解；
（2）根據牛頓第二定律分別求解物塊A和木板B的加速度，根據運動學公式求出AB達到共同速度的時間及共同速度大��；AB達到共同速度以后整體一起沿斜面向下做勻速運動，木板與擋板碰撞后木板停止運動，根據運動學公式求出物塊與彈簧剛接觸時的速度，從物塊剛接觸彈簧到物塊剛離開彈簧，根據能量守恒定律，即可求出產生的內能；再從物塊剛接觸彈簧到壓縮到最短的過程，根據能量守恒定律，即可求出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）物塊A落到木板前做平拋運動，豎直方向：$2g（H-h）={v}_{y}^{2}$，
得：${v}_{y}^{\;}=2m/s$
物塊A落到木板時的速度大小為：$v=\frac{{v}_{y}^{\;}}{sin30°}=4m/s$
（2）由木板恰好靜止在斜面上，得到斜面與木板間的摩擦因數${μ}_{0}^{\;}$應滿足：
$mgsin30°={μ}_{0}^{\;}mgcos30°$
得：${μ}_{0}^{\;}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 
物塊A在木板上滑行時，以A為對象有：${a}_{A}^{\;}$=$\frac{μMgcos30°-Mgsin30°}{M}$=2.5$m/{s}_{\;}^{2}$（沿斜面向上）
以木板B為對象有：${a}_{B}^{\;}$=$\frac{μMgcos30°+mgsin30°-{μ}_{0}^{\;}（M+m）gcos30°}{m}$=7.5$m/{s}_{\;}^{2}$（沿斜面向下）
假設A與木板達到${v}_{共}^{\;}$時，A還沒有壓縮彈簧且木板還沒有到達底端，則有：
${v}_{共}^{\;}={a}_{B}^{\;}t=v-{a}_{A}^{\;}t$
解得：${v}_{共}^{\;}=3m/s$，t=0.4s
此過程，${x}_{A}^{\;}=\frac{v+{v}_{共}^{\;}}{2}•t=1.4m$，${x}_{B}^{\;}=\frac{{v}_{共}^{\;}}{2}•t=0.6m$$＜\frac{h}{sin30°}-L=1m$
故$△x={x}_{A}^{\;}-{x}_{B}^{\;}=0.8m$＜L-${l}_{0}^{\;}$=1.8m，說明以上假設成立
共速后，由于（M+m）gsin30°=${μ}_{0}^{\;}$（M+m）gcos30°，A與木板B一起勻速到木板與底端擋板碰撞，木板停下，此后A做勻減速到與彈簧接觸的過程，設接觸彈簧時A的速度為${v}_{A}^{\;}$，有：$-2{a}_{A}^{\;}（L-{l}_{0}^{\;}-△x）$=${v}_{A}^{2}-{v}_{共}^{2}$
解得：${v}_{A}^{\;}=2m/s$   
設彈簧最大壓縮量為${x}_{m}^{\;}$，A從開始壓縮彈簧到剛好回到原長過程有：
$Q=2μMg{x}_{m}^{\;}cos30°$=$\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$
得：Q=6J，${x}_{m}^{\;}=\frac{2}{15}m$
A從開始壓縮彈簧到彈簧最短過程有：
${E}_{pm}^{\;}=\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$+$Mg{x}_{m}^{\;}sin30°$-$\frac{1}{2}Q$=5J
即彈簧壓縮到最短時的彈性勢能為5J
答：（1）物塊A落地木板上的速度大小v為4m/s；
（2）彈簧被壓縮到最短時間的彈性勢能為5J．

點評 本題綜合考查了平拋運動、牛頓運動定律、運動學公式及能量守恒定律，過程復雜，綜合性較強，對學生的要求較高，要加強這類題型的訓練．