Question

宇宙飛船在受到星球的引力作用時(shí)，宇宙飛船的引力勢能大小的表達(dá)式為Ep=-

GMm

R

，式中R為此星球球心到飛船的距離，M為星球的質(zhì)量，m為宇宙飛船的質(zhì)量，G為萬有引力恒量．現(xiàn)有一質(zhì)量m=10⁴kg的宇宙飛船從地球表面飛到月球，則：
（1）寫出宇宙飛船在地球表面時(shí)的引力勢能表達(dá)式（不要計(jì)算出數(shù)值，地球質(zhì)量為M_地、月球質(zhì)量為M_月）．
（2）宇宙飛船在整個(gè)飛行過程中至少需做多少功？
（已知月球表面重力加速度為地球表面重力加速度的

1

6

，地球半徑R_地=6.4×10⁶m，月球半徑R_月=1.7×10⁶m，月球到地球距離R_地月=3.8×10⁸m（提示：R_地月＞＞R_地，R_地月＞＞R_月）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力勢能的表達(dá)式求解．
（2）求出宇宙飛船在月球表面時(shí)的引力勢能，根據(jù)能量守恒，表示出需做功．根據(jù)根據(jù)在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式進(jìn)行替換．

解答：解：（1）宇宙飛船在地球表面時(shí)的引力勢能：
E_p1=-

GM地m

R   地

-

GM月m

R地月-R   地

（2）宇宙飛船在月球表面時(shí)的引力勢能：
E_p2=-

GM月m

R   月

-

GM地m

R地月-R   月

所以需做功：
W=E_p2-E_p1=Gm（-

M月

R   月

-

M地

R地月-R   月

+

M地

R   地

+

M月

R地月-R   地

）          
由于R_地月＞＞R_地，R_地月＞＞R_月
W=Gm（-

M月

R   月

+

M地

R   地

+

M地-M月

R地月

）                        ①
由

GM地m

R 2 地

=mg，②
同理可得GM_月=

1

6

g

R

2 月

                                      ③
代入上式，得：
W=m（-

1

6

g

R

月

+g

R

地

-

gR 2 地

R   地月

+

gR 2 月

6R   地月

）                       
=5.89×10¹¹J                                               
答：（1）寫出宇宙飛船在地球表面時(shí)的引力勢能表達(dá)式是E_p1=-

GM地m

R   地

-

GM月m

R地月-R   地

．
（2）宇宙飛船在整個(gè)飛行過程中至少需做5.89×10¹¹J 功．

點(diǎn)評：向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．
運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．
本題考查了多個(gè)知識點(diǎn)的應(yīng)用，要能根據(jù)求解的問題選擇恰當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律求解．