Question

6．如圖所示是一個半徑為R的$\frac{1}{4}$圓柱體棱鏡的截面圖，棱鏡的直角邊緊貼在x、y軸上．一束細光線平行于x軸從P點射入圓柱形棱鏡中，投射到N點，經(jīng)棱鏡折射后從x軸上的Q點穿過，P點到圓心O的距離是$\frac{R}{2}$，O點到圓心O的距離是$\sqrt{3R}$，求：
（1）圓柱體棱鏡的折射率n？
（2）棱鏡固定不動，將細光線逐漸向上移動了（始終平行于x軸）△y時，棱鏡右側的折射光線剛好消失，求△y？

Answer 1

分析 （1）結合光路圖，由幾何知識求出入射角和折射角，再由折射定律求折射率n．
（2）光線恰好發(fā)生全反射時棱鏡右側的折射光線剛好消失，由臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和幾何知識結合求解．

解答 解：（1）如右圖所示，入射角為i，折射角為r．
由△PNO：$sini=\frac{R}{2R}$=0.5，得 i=30°…①
由△ONM：θ=60°，OM=Rsin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$
所以：MQ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，∠MNQ=60°，r=60°…②
光由光密介到光疏介質折射，則：$n=\frac{sinr}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$…③
（2）設光線向上移動到N'時折射光線消失，發(fā)生全反射．
臨界角為C：$sinC=\frac{1}{n}$…④
由△OP'N'：$△y=RsinC-\frac{R}{2}$…⑤
得到：$△y=（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{1}{2}）R$≈0.08R
答：
（1）圓柱體棱鏡的折射率n是$\sqrt{3}$．
（2）△y是0.08R．

點評 本題的關鍵是作出光路圖，運用幾何知識輔助分析，結合折射定律進行求解．